Relasi dan Fungsi

Pengertian Relasi

Relasi bisa diartikan sebagai suatu aturan yang menghubungkan suatu himpunan dengan himpunan lain. Himpunan A dan himpunan B dikatakan memiliki relasi jika ada anggota himpunan yang saling berpasangan. Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara yaitu dengan diagram panah, diagram Cartesius dan himpunan pasangan berurutan.

Contoh:

Diketahui 𝐴={0, 1, 2, 3, 4} dan 𝐵={1, 2, 3,4, 5, 6 }. Relasi “dua lebihnya dari” dari himpunan A ke himpunan B dapat dinyatakan dengan diagram panah, diagram Cartesius dan himpunan pasangan berurutan sebagai berikut

Diagram Panah

Diagram Cartesius

Himpunan  Pasangan Berurutan

$R=\{ (0, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6)\}$

Pengertian Fungsi

Suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B. Semua anggota himpunan A atau daerah asal disebut domain, sedangkan semua anggota himpunan B atau daerah kawan disebut kodomain. Hasil dari pemetaan antara domain dan kodomain disebut range fungsi atau daerah hasil. Sama halnya dengan relasi, fungsi juga dapat dinyatakan dalam bentuk diagram panah, himpunan pasangan berurutan dan dengan diagram Cartesius.

Syarat Suatu Relasi Merupakan Fungsi

1) Setiap anggota himpunan A harus habis dipasangkan
2) Setiap anggota himpunan A dipasangkan dengan tepat satu anggota himpunan B

Contoh:

Diantara relasi berikut, manakah yang merupakan fungsi?

Jawab:

a) Fungsi

b) Bukan Fungsi, karena ada anggota himpunan A (domain) yang tidak dipasangkan

c) Bukan Fungsi, karena ada anggota himpunan A (domain) yang dipasangkan lebih dari satu kali

d) Fungsi

e) Bukan Fungsi, karena ada anggota himpunan A yang tidak dipasangkan

f) Fungsi

Notasi Fungsi

Fungsi yang memetakan himpunan $A$ ke himpunan $B$ ditulis dengan notasi $f:A\rightarrow B$. 

Jika fungsi $f$ memetakan $x\in A$ ke $y\in B$ maka $y$ merupakan peta dari $x$ sehingga dapat ditulis $y = f(x)$. 

Dalam hal ini:

➤ $A$ disebut domain (daerah asal) dinotasikan $D_f$

➤ $B$ disebut kodomain (daerah kawan) dinotasikan $K_f$ 

➤ Anggota himpunan $B$ yang merupakan pasangan himpunan $A$ disebut range (daerah hasil) dinotasikan $R_f$

Jenis-jenis Fungsi

1. Fungsi Konstan (Fungsi Tetap)

Suatu fungsi disebut fungsi konstan apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku $f(x)=C$, di mana $C$ bilangan konstan

Contoh:

Diketahui $f:R→R$ dengan rumus $f(x)=3$

2. Fungsi Linear

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh $f(x)=ax+b$, di mana $a\ne 0$. grafiknya berupa garis lurus.

Contoh:

fungsi $f(x)=2x+3$, merupakan fungsi linear dengan grafik sebagai berikut

3. Fungsi Kuadrat

Suatu fungsi $f(x)$ disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh $f(x)=ax^2+bx+c$, di mana $a\ne 0$ dan $a$, $b$, dan $c$ bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola.

Contoh:

fungsi $f(x)=x^2 +2x-3$ merupakan fungsi kuadrat dengan grafik sebagai berikut

4. Fungsi Identitas

Suatu fungsi $f(x)$ disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsi berlaku $f(x)=x$ atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri. Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik absis maupun ordinatnya sama.

5. Fungsi Modulus

Suatu fungsi $f(x)$ disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya.

$f:x\rightarrow |x|$ atau $f:x\rightarrow |ax+b|$

Contoh:

fungsi $f(x)=|x|$ dengan grafik sebagai berikut

6. Fungsi Tangga (Bertingkat)

Suatu fungsi $f(x)$ disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi $f(x)$ berbentuk interval-interval yang sejajar.

Contoh:

$ f(x) = \left\{\begin{matrix} -1\: \text{jika}\:x\leq -1\\  0\: \text{jika}\:-1< x\leq 2\\  2\: \text{jika}\:2<x\leq 4\\  3\: \text{jika}\:x>4 \end{matrix}\right.$

7. Fungsi Ganjil dan Fungsi Genap

Suatu fungsi $f(x)$ disebut fungsi ganjil apabila berlaku $f(–x)= –f(x)$ dan disebut fungsi genap apabila berlaku $f(–x)=f(x)$

Contoh fungsi ganjil: $f(x)=2x^3+x$ 

Bukti:

$\begin{align*}f(-x)&=2(-x)^3+(-x)\\&=-2x^3-x\\&=-(2x^3+x)\\f(-x)&=-f(x)\end{align*}$

Contoh fungsi genap: $f(x)=2x^2-5$ 

Bukti:

$\begin{align*}f(-x)&=2(-x)^2-5\\&=2x^2-5\\f(-x)&=f(x)\end{align*}$

Sifat-sifat Fungsi

1. Fungsi Injektif (Satu-satu)

Fungsi $f:A\rightarrow B$ disebut fungsi injektif jika dan hanya jika untuk setiap $a_1$, $a_2∈A$ dan $a_1\ne a_2$ maka berlaku $f(a_1 )≠f(a_2 )$

2. Fungsi Surjektif (Onto)

Fungsi $f:A\rightarrow B$ disebut fungsi surjektif jika dan hanya jika daerah hasil fungsi $f$ sama dengan himpunan $B$ atau $R_f=B$

3. Fungsi Bijektif

Suatu fungsi disebut fungsi bijektif (korespondensi satu-satu) jika memiliki sifat injektif sekaligus surjektif