Pada kesempatan ini, m4th-lab akan membahas materi matematika wajib kelas X semester 1 (Kurikulum 2013 revisi) yaitu mengenai persamaan nilai mutlak. InsyaAlloh pada tulisan ini akan di bahas konsep dasar nilai mutlak, persamaan nilai mutlak, dan beberapa cara menyelesaikan persamaan nilai mutlak dilengkapi contoh soal beserta pembahasannya. Semoga tulisan ini dapat membantu adik-adik yang sedang mempelajari nilai mutlak.
Konsep Dasar Nilai Mutlak
Nilai Mutlak Sebagai Jarak Pada Garis Bilangan
Nilai mutlak bilangan $x$ dinotasikan dengan $\left | x\right |$ (dibaca "nilai mutlak dari $x$") dapat diartikan sebagai jarak suatu bilangan dari 0 pada suatu garis bilangan tanpa memperhatikan arahnya. Perhatikan contoh sederhana berikut:
Contoh:
$\left | x \right |=4$, berapa nilai $x$ yang memenuhi?
Jawab:
Persamaan nilai mutlak di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep nilai mutlak sebagai jarak suatu bilangan terhadap nilai 0 pada garis bilangan.
$\left | x\right |=4$ dapat diartikan "berapa nilai $x$ yang memenuhi yang berjarak 4 dari 0 pada garis bilangan?". Maka akan kita peroleh dua nilai $x$, dari 0 ke arah kiri berjarak 4 dan dari 0 ke kanan berjarak 4. lihat gambar berikut:
Dari gambar diatas, terlihat nilai yang berjarak 4 dari nol adalah $4$ dan $-4$. Sehingga untuk persamaan $\left |x\right |=4$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=4$ atau $x=-4$.
Konsep tersebut dapat kita perluas, sehingga dapat kita gunakan untuk menyelesaikan nilai mutlak yang melibatkan bentuk aljabar. Dari konsep di atas, kita peroleh:
untuk $f(x)$ suatu bentuk aljabar, dan $k$ bilangan real positif, berlaku:
$\left |f(x) \right |=k \Rightarrow f(x)=k\space\text{atau}\space f(x)=-k$
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut:
$\left | 2x-1\right |=5 $
Jawab:
$\left | 2x-1\right |=5\\ \Leftrightarrow 2x-1=5\space\text{atau}\space 2x-1=-5\\ \Leftrightarrow 2x=6\space\text{atau}\space 2x=-4\\ \Leftrightarrow x=3\space\text{atau}\space x=-2$
Definisi Nilai Mutlak
Setelah memperhatikan konsep nilai mutlak sebagai jarak, dapat kita ambil kesimpulan bahwa nilai mutlak menghasilkan nilai positif (ingat, jarak tidak mungkin negatif). Jadi $|x|$ jika $x$ positif, maka $|x|=x$ dan jika $x$ negatif, maka $|x|=-x$, atau definisi secara umum dapat ditulis:
Nilai mutlak dari sembarang nilai $x\in$ bilangan real, yang dinotasikan $|x|$, didefinisikan sebagai:
$\left | x \right |=\begin{cases} x & \text{ jika } x\geq0 \\ -x & \text{ jika } x< 0 \end{cases}$
untuk memahaminya, perhatikan beberapa contoh berikut:
$|0|=0$
$|9|=9$
$|-9|=-(-9)=9$
$|150|=150$
$|-150|=-(-150)=150$
$\left |\frac{-120}{3} \right |=|-40|=-(-40)=40$
Sifat-sifat Nilai Mutlak
Beberapa sifat nilai mutlak diantaranya:
- $\left | -x \right|=\left | x\right |$
- $\left | x \right | = \sqrt{x^2}$
- $\left |x \right |^2=\left | -x^2\right |=x^2$
- $\left |x-y \right |=\left | y-x\right |$
- $\left | xy \right |=\left | x\right | \left |y\right |$
- $\left |\frac{x}{y}\right |=\frac{|x|}{|y|}, y\ne 0$
- $\left |x+y\right|\leq |x|+|y|$
- $|x|-|y|\leq |x-y|$
Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh 1
Tentukan nilai $\left | 3x-5 \right |$ untuk $x=3$ dan untuk $x=-2$!
Jawab:
untuk $x=3$
$\begin{align*}\left |3x-5\right|&=\left |3\times (3)-5\right|\\&=\left|9-5\right|\\&=\left|4\right|\\&=4\end{align*}$
untuk $x=-2$
$\begin{align*} \left|3x-5 \right|&=\left|3\times (-2)-5 \right|\\&=\left|-6-5 \right|\\&=\left | -11\right|\\&=-(-11)\\&=11\end{align*}$
Contoh 2:
Diketahui $f(x)=|2x-1|$ dan $g(x)=|6-x|$. Berapakan nilai $|f(2)-g(-4)|$?
Jawab:
$\begin{align*}\left | f(2)+g(3)\right |&=\left | |2(2)-1|-|6-(-4)| \right |\\&=\left | |3|-|10|\right |\\&=|3-10|\\&=|-7|\\&=-(-7)\\&=7\end{align*}$
Contoh 3:
Bentuk sederhana dari $\left |5-2x \right|+\left | x+4\right |-\left |x-2\right|$ untuk $x>10$ adalah ....
Jawab:
untuk $x>10$, $5-2x < 0$ maka $|5-2x|=-(5-2x)=2x-5$
untuk $x>10$, $x+4>0$ maka $|x+4|=x+4$
untuk $x>10$, $x-2>0$ maka $|x-2|=x-2$
sehingga:
$\begin{align*}|5-2x|+|x+4|-|x-2|&=2x-5+x+4-(x-2)\\&=2x-5+x+4-x+2\\&=2x+1\end{align*}$
Contoh 4:
Bentuk sederhana dari $|x-1|+|x+2|-|9-3x|$ untuk $1 < x < 3$ adalah ....
Jawab:
untuk $1 < x < 3$, $x-1>0$ maka $|x-1|=x-1$
untuk $1 < x < 3$, $x+2>0$ maka $|x+2|=x+2$
untuk $1 < x < 3$, $9-3x>0$ maka $|9-3x|=9-3x$
sehingga:
$\begin{align*}|x-1|+|x+2|-|9-3x|&=x-1+x+2-(9-3x)\\&=x-1+x+2-9+3x\\&=5x-8\end{align*}$
Contoh 5:
Himpinan penyelesaian persamaan $|x+2|^2-3|x+2|=4$ adalah ....
Jawab:
$\begin{align*}|x+2|^2-3|x+2|&=4\\|x+2|^2-3|x+2|-4&=0\end{align*}$
Misal: $|x+2|=p$, maka persamaan menjadi:
$\begin{align*}p^2-3p-4&=0\\(p-4)(p+1)&=0\\p=4\space\text{atau}\space p=-1\end{align*}$
$p=4\\|x+2|=4\\x=2\space\text{atau}\space x=-6$
$\begin{align*}p&=-1\\|x+2|&=-1\space\text{Tidak Memenuhi}\end{align*}$
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah $\left \{-6,2 \right\}$
Contoh 6:
Himpunan penyelesaian persamaan $|x-7|-|x-2|=3$ adalah ....
Jawab:
Pembuat nol nilai mutlak di atas adalah $x=2$ dan $x=7$, dengan demikian untuk menyelesaikan soal tipe dia atas, akan kita bagi ke dalam beberapa interval nilai $x$. Yaitu $x < 2$, $2 < x < 7$ dan $x > 7$.
untuk $x < 2$
untuk $x < 2$, $x-7 < 0$ maka $|x-7|=-(x-7)=7-x$
untuk $x < 2$, $x-2 < 0$ maka $|x - 2|=-(x-2)=2-x$
maka:
$\begin{align*}|x-7|-|x-2|&=3\\7-x-(2-x)&=3\\7-x-2+x&=3\\5&=3\space \text{tidak memenuhi}\end{align*}$
untuk $2 < x < 7$
untuk $2 < x < 7$, $x-7 < 0$ maka $|x-7|=-(x-7)=7-x$
untuk $2 < x < 7$, $x-2 > 0$ maka $|x-2|=x-2$
maka:
$\begin{align*}|x-7|-|x-2|&=3\\7-x-(x-2)&=3\\7-x-x+2&=3\\-2x+9&=3\\2x&=6\\x&=3\text{ memenuhi}\end{align*}$
untuk $x \gt 7$
untuk $x\gt 7$, $x-7 > 0$ maka $|x-7|=x-7$
untuk $x\gt 7$, $x-2 > 0$ maka $|x-2||=x-2$
maka:
$\begin{align*}|x-7|-|x-2|&=3\\x-7-(x-2)&=3\\x-7-x+2&=3\\-5&=3\text{ tidak memenuhi}\end{align*}$
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah $\{ 3 \}$
Contoh 7:
Himpunan penyelesaian dari persamaan $|x-2|=|6+2x|$ adalah ....
Jawab:
Karena persamaan nilai mutlak bentuk $\left | f\left( x\right ) \right|=\left|g\left(x\right)\right|$ kedua ruas pasti bernilai positif, maka bentuk ini dapat diselesaikan dengan cara mengkuadratkan kedua ruas.
$\begin{align*}\left(|x-2|\right)^2&=\left(|6+2x|\right)^2\\\left(x-2\right)^2&=\left(6+2x\right)^2\leftarrow\text{sifat }|x|^2=x^2\\(x-2)^2-(6+2x)^2&=0\\ \left((x-2)+(6+2x)\right)\left((x-2)-(6+2x)\right)&=0\\(3x+4)(-x-8)&=0\\3x+4=0\space\text{atau}\space -x-8&=0\\x=-\frac{4}{3}\space\text{atau}\space x&=-8\end{align*}$
jadi, himpunan penyelesaian persamaan di atas adalah $\left \{-8, -\frac{4}{3}\right \}$
Contoh 8:
Himpunan penyelesaian $|8-2x|+x-5=0$ adalah ....
Jawab:
$\begin{align*}|8-2x|+x-5&=0\\|8-2x|&=5-x\end{align*}$
Berbeda dengan contoh 7, persamaan $|8-2x|=5-x$ pada ruas kanan belum tentu bernilai positif, sehingga jangan diselesaikan dengan mengkuadratkan kedua ruas, namun dengan melakukan analisis nilai $x$ dan menggunakan definisi nilai mutlak.
pembuat nol nilai mutlak adalah $x=4$, maka akan kita analisis persamaan untuk interval $x < 4$ dan $x\gt 4$.
untuk $x\lt 4$
untuk $x\lt 4$, $8-2x \gt 0$ sehingga $|8-2x|=8-2x$
$\begin{align*}|8-2x|&=5-x\\8-2x&=5-x\\-x&=-3\\x&=3\end{align*}$
karena $x=3$ terletak pada interval $x\lt 4$ maka $x=3$ merupakan penyelesaian.
untuk $x\gt 4$
untuk $x\gt 4$, $8-2x\lt 0$ sehingga $|8-2x|=-(8-2x)=2x-8$
$\begin{align*}|8-2x|&=5-x\\2x-8&=5-x\\3x&=13\\x&=\frac{13}{3}\end{align*}$
karena $x=\frac{13}{3}$ terletak pada interval $x\gt 4$, maka $x=\frac{13}{3}$ merupakan penyelesaian.
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah $\left \{3, \frac{13}{3} \right\} $
Setelah anda mempelajari beberapa contoh soal dan pembahasan di atas, alangkah baiknya anda mencoba beberapa soal yang kami bagikan pada link di bawah ini sebagai bahan latihan mandiri untuk mengasah pemahaman dan keterampilan materi persamaan nilai mutlak:
Demikianlah konsep dasar persamaan nilai mutlak beserta beberapa contoh soal dan pembahasan dengan berbagai tipe soal (materi matematika wajib kelas 10), jika penjelasan di atas masih kurang dimengerti sebaiknya anda melihat pemaparan materi dalam bentuk video berikut ini. Pada video tersebut dijelaskan konsep dasar nilai mutlahk beserta 10 soal dan pembahasan.
