- Deret Geometri
- Dimensi Tiga / Bangun Ruang
- Kombinasi
- Fungsi Kuadrat
Berikut ini soal dan pembahasan isian singkat UNBK 2019 SMK Kelompok TKP:
Soal 1 (Deret Geometri)
Diketahui dua bilangan yaitu 4 dan 2.916. Diantara dua bilangan tersebut disisipkan 5 bilangan sehingga bersama bilangan tersebut membentuk deret geometri. Jumlah deret geometri yang terbentuk tersebut adalah ....
Pembahasan:
rasio dari dua buah bilangan sebelum disisipkan 5 bilangan baru (rasio dari 4 dan 2.916) adalah $\displaystyle r_1=\frac{2.916}{4}=729$
Misal $r_2$ adalah rasio barisan bilangan baru setelah disisipkan $n$ buah bilangan, maka:
$\displaystyle r_2=\sqrt[n+1]{r_1}$
Dengan menggunakan formula di atas, maka barisan bilangan yang terbentuk setelah mensisipkan 5 buah bilangan diantara 4 dan 2.916 adalah:
$\begin{align*}r&=\sqrt[5+1]{729}\\&=\sqrt[6]{729}\\&=3\end{align*}$
Karena $r>1$ maka untuk menentukan jumlah $n$ suku pertama kita gunakan formula $\displaystyle S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$
Jadi, jumlah barisan tersebut (jumlah 7 suku pertama) dengan suku pertama $a=4$ dan $r=3$ adalah:
$\begin{align*}S_7&=\frac{4(3^7-1)}{3-1}\\&=\frac{4(2.187-1)}{2}\\&=2(2.186)\\&=4.372\end{align*}$
Soal 2 (Bangun Ruang)
Perhatikan gambar kubus $ABCD.EFGH$ di bawah ini
Jika panjang rusuk kubus adalah $6\sqrt{5}$ cm dan titik $P$ adalah titik tengah $GH$. Jarak titik $D$ ke garis $CP$ adalah ... cm
Pembahasan:
Perhatikan gambar di bawah ini:
Titik $P$ terletak di tengah garis $GH$ sehingga
$\begin{align*}GP=PH&=\frac{1}{2}\times GH\\&=\frac{1}{2}\times 6\sqrt{5}\\&=3\sqrt{5}\end{align*}$
$\begin{align*}CP&=\sqrt{CG^2+GP^2}\\&=\sqrt{(6\sqrt{5})^2+(3\sqrt{5})^2}\\&=\sqrt{180+45}\\&=\sqrt{225}\\&=15\end{align*}$
$PQ=GC=6\sqrt{5}$
Perhatikan segitiga $DCP$
$\begin{align*}DR\times PC&=DC\times PQ\\DR&=\frac{DC\times PQ}{PC}\\&=\frac{6\sqrt{5}\times 6\sqrt{5}}{15}\\&=\frac{180}{15}\\&=12\end{align*}$
Jadi, jarak dari titik $D$ ke garis $PC$ adalah 12 cm
Soal 3 (Kombinasi)
Di dalam keranjang berisi 20 butir telur dan 2 butir diantaranya busuk. Ibu mengambil 3 butir telur dari keranjang tersebut secara acak. Banyak cara pengambilan jika terambil paling sedikit 2 telur yang baik adalah ....
Pembahasan:
Di dalam keranjang berisi 18 telur baik dan 2 telur busuk. Jika ibu mengambil 3 telur, kemungkinan mendapat paling sedikit 2 telur baik adalah ibu mendapat 2 baik dan 1 busuk atau ketiganya telur baik, dengan kombinasi kita peroleh:
$\begin{align*} C_2^{18}\times C_1^2+C_3^{18}&=153\times 2+816\\&=1122\end{align*}$
Jadi banyak cara pengambilan adalah 1.122 cara
Soal 4 (Fungsi Kuadrat/Aplikasi Turunan)
Suatu pekerjaan dapat diselesaikan dalam $x$ hari dengan biaya $f(x)=x^2-4x+5$ dalam ratusan ribu rupiah. Banyak hari yang diperlukan agar biaya yang dikeluarkan minimum adalah .... hari.
Pembahasan:
Soal ini dapat kita selesaikan dengan menggunkan rumus titik balik fungsi kuadrat atau bisa juga dengan menggunkan turunan.
Cara 1:
Titik balik/puncak suatu fungsi kuadrat $f(x)=ax^2+bx+c$ adalah $\left(-\frac{b}{2a},-\frac{D}{4a}\right)$ dengan $D=b^2-4ac$
Karena pada soal di atas yang ditanyakan hanya nilai $x$-nya saja, maka kita hanya tinggal mencari absis dari titik balik fungsi $f(x)=x^2-4x+5$ yaitu $x=-\frac{-4}{2(1)}=2$
Cara 2:
Nilai maksimum/minimum suatu fungsi dapat kita cari dengan menggunakan turunan pertama.
$\begin{align*}f'(x)&=0\\2x-4&=0\\2x&=4\\x=2\end{align*}$
Jadi, agar biaya yang dikeluarkan minimum, diperlukan waktu 2 hari.
Demikianlah pembahasan soal isian singkat UNBK 2019 SMK Kelompok TKP.
Semoga bermanfaat.
Lihat video pembahasannya di sini
Silakan gabung di Fans Page Facebook, Channel Telegram untuk memperoleh update terbaru, dan Subscribe Channel YouTube m4th-lab untuk memperoleh video pembelajaran matematika secara gratis, untuk mengikuti tautan klik pada tombol di bawah ini:
m4th-lab Youtube Channel:
m4th-lab Facebook Fans Page:
m4th-lab Telegram Channel:
@banksoalmatematika
