Sebelumnya, m4th-lab telah membahas konsep dasar turunan fungsi aljabar yang merupakan salah satu materi yang dipelajari pada matematika wajib kelas XI. Pada kesempatan ini kita akan belajar turunan fungsi trigonometri yang dipelajari di kelas XII pada matematika peminatan.
Rumus Dasar
Berikut ini rumus-rumus dasar turunan fungsi trigonometri
1). $y=\sin{x}\rightarrow y'=\cos{x}$
2). $y=\cos{x}\rightarrow y'=-\sin{x}$
3). $y=\tan{x}\rightarrow y'=\sec^2{x}$
4). $y=\cot{x}\rightarrow y'=-\csc^2{x}$
5). $y=\sec{x}\rightarrow y'=\sec{x}\tan{x}$
6). $y=\csc{x}\rightarrow y'=-\csc{x}\cot{x}$
Perhatikan rumus-rumus di atas. Untuk mempermudah anda mengingat, setiap fungsi trigonometri yang diawali dengan huruf c turunannya bernilai negatif.
Contoh 1
Tentukan turunan pertama dari $y=4x^2+3\sin{x}-\cos{x}$.
Jawab:
Ingat kembali aturan penjumlahan dan pengurangan pada turunan fungsi aljabar yang telah kita pelajari bahwa jika $y=u\pm v$ maka $y'=u'\pm v'$
$\begin{align*}y&=4x^2+3\sin{x}-\cos{x}\\y'&=8x+3\cos{x}-(-\sin{x})\\&=8x+3\cos{x}+\sin{x}\end{align*}$
Selain rumus dasar di atas, perhatikan dan pahami juga rumus turunan fungsi trigonometri yang lebih kompleks sebagai berikut.
Misal sudut dalam fungsi trigonometri adalah $u$, dengan $u$ suatu fungsi, maka:
1). $y=\sin{u}\rightarrow y'=u'.\cos{u}$
2). $y=\cos{u}\rightarrow y'=-u'.\sin{u}$
3). $y=\tan{u}\rightarrow y'=u'.\sec^2{u}$
4). $y=\cot{u}\rightarrow y'=-u'.\csc^2{u}$
5). $y=\sec{u}\rightarrow y'=u'.\sec{u}\tan{u}$
6). $y=\csc{u}\rightarrow y'=-u'.\csc{u}\cot{u}$
Perhatikan dan pahami rumus di atas. Sebenarnya jika anda sudah memahami rumus dasar maka rumus pengembangan di atas sangat mudah untuk anda ingat. Yang perlu anda lakukan adalah mengalikan turunan fungsi trigonometri dengan turunan sudutnya (sudut berupa fungsi).
Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa contoh di bawah ini:
Contoh 2
Tentukan turunan pertama dari $y=\sin{6x}$
Jawab:
Misal $6x=u$ maka $u'=6$
$y=\sin{u}\rightarrow y'=u'.\cos{u}$
$y=\sin{6x}\rightarrow y'=6\cos{6x}$
Contoh 3
Tentukan turunan pertama dari $y=\cos{(2x^2-6x+1)}$
Jawab:
Misal $2x^2-6x+1=u$ maka $u'=4x-6$
$y=\cos{u}\rightarrow y'=-u'.\sin{u}$
$y=\cos{(2x^2-6x+1)}$
$ y'=-(4x-6)\sin{(2x^2-6x+1)}$
Contoh 4
Tentukan turunan pertama dari $y=5\tan{(4x-2018)}$
Jawab:
Misal $4x-2018=u$ maka $u'=4$
$\begin{align*}y&=5\tan{(4x-2018)}\\y'&=5(4)\sec^2{(4x-2018)}\\&=20\sec^2{(4x-2018)}\end{align*}$
Contoh 5
Tentukan turunan pertama dari $y=5\sin{(3x+1)}-\frac{1}{2}\cos{(4x+3)}$
Jawab:
$\begin{align*}y&=5\sin{(3x+1)}-\frac{1}{2}\cos{(4x+3)}\\y'&=5(3)\cos{(3x+1)}-(-\frac{1}{2}(4)\sin{(4x+3)})\\&=15\cos{(3x+1)}+2\sin{(4x+3)}\end{align*}$
Contoh 6
Jika $f(x)=\cos{2x}-3\sin{2x}$, maka tentukanlah nilai dari $\displaystyle f'\left(\frac{\pi}{2}\right)$
Jawab:
$\begin{align*}f(x)&=\cos{2x}-3\sin{2x}\\f'(x)&=-2\sin{2x}-3(2)\cos{2x}\\&=-2\sin{2x}-6\cos{2x}\\f'\left(\frac{\pi}{2}\right)&=-2\sin{2\left(\frac{\pi}{2}\right)}-6\cos{2\left(\frac{\pi}{2}\right)}\\&=-2\sin{\pi}-6\cos{\pi}\\&=-2(0)-6(-1)\\&=0+6\\&=6\end{align*}$
Turunan Bentuk $y=u.v$
Pada pembahasan limit fungsi aljabar kita sudah mengetahui bahwa turunan atau diferensial dari bentuk $y=u.v$ dengan $u$ dan $v$ suatu fungsi adalah $y'=u'v+uv'$. Aturan tersebut berlaku juga untuk turunan fungsi trigonometri.
Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut:
Contoh 7
Tentukan turunan pertama fungsi $y=x^2\sin{3x}$
Jawab
Kita buat pemisalan
$u=x^2\rightarrow u'=2x$
$v=\sin{3x}\rightarrow v'=3\cos{3x}$
$\begin{align*}y'&=u'v+uv'\\&=(2x)(\sin{3x})+(x^2)(3\cos{3x})\\&=2x\sin{3x}+3x^2\cos{3x}\end{align*}$
Turunan Bentuk $\displaystyle y=\frac{u}{v}$
Sama halnya dengan turunan fungsi aljabar, untuk menentukan turunan fungsi trigonometri bentuk $\displaystyle y=\frac{u}{v}$ kita gunakan formula berikut:
$\displaystyle y=\frac{u}{v}\rightarrow y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$
untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut:
Contoh 8
Jika $\displaystyle y=\frac{1+\cos{x}}{-\sin{x}}$, maka $\displaystyle\frac{dy}{dx}=$ ....
Jawab
Kita buat pemisalan
$u=1+\cos{x}\rightarrow u'=-\sin{x}$
$v=-\sin{x}\rightarrow v'=-\cos{x}$
$\begin{align*}\frac{dy}{dx}&=\frac{u'v-uv'}{v^2}\\&=\frac{(-\sin{x})(-\sin{x})-(1+\cos{x})(-\cos{x})}{(-\sin{x})^2}\\&=\frac{\sin^2{x}+\cos^2{x}+\cos{x}}{\sin^2{x}}\\&=\frac{1+\cos{x}}{\sin^2{x}}\end{align*}$
Aturan Rantai
Jika fungsi trigonometri yang akan kita turunkan berbentuk $y=\sin^n{u}$ atau $y=\cos^n{u}$ atau $y=\tan^n{u}$ maka untuk menyelesaikannya kita gunakan aturan rantai (chain rule) sebagai berikut:
$\displaystyle y=f[g(x)]\rightarrow y'=f'[g(x)].g'(x)$
Selanjutnya kita akan menentukan formula untuk menentukan turunan dari $y=\sin^n{u}$, $y=\cos^n{u}$ dan $y=\tan^n{u}$ dengan menggunakan aturan rantai berikut ini.
$\begin{align*}y&=\sin^n{u}\\y'&=n.\sin^{n-1}{u}.\cos{u}.u'\\&=n.u'.\sin^{n-1}.\cos{u}\end{align*}$
$\begin{align*}y&=\cos^n{u}\\y'&=n.\cos^{n-1}{u}.(-\sin{u}).u'\\&=-n.u'.\cos^{n-1}{u}.\sin{u}\end{align*}$
$\begin{align*}y&-=\tan^n{u}\\y'&=n.\tan^{n-1}{u}.\sec^2{u}.u'\\&=n.u'.\tan^{n-1}.\sec^2{u}\end{align*}$
untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut
Contoh 9
Tentukan turunan pertama dari $y=\sin^5{(2x+1)}$
Jawab:
$\begin{align*}y&=\sin^5{(2x+1)}\\y'&=5\sin^4{(2x+1)}.\cos{(2x+1)}.2\\&=10\sin^4{(2x+1)}\cos{(2x+1)}\end{align*}$
Contoh 10
Tentukan turunan pertama fungsi $y=2\cos^3{(1-2x)}$
Jawab:
$\begin{align*}y&=2\cos^3{(1-2x)}\\y'&=3.2\cos^2{(1-2x)}.(-\sin{(1-2x)}).(-2)\\&=12\cos^2{(1-2x)}.\sin{(1-2x)}\end{align*}$
Demikianlah pembahasan konsep matematika turunan fungsi trigonometri. Semoga bermanfaat.
