Loading...

Fungsi Eksponensial - Matematika Peminatan Kelas X

Add Comment
Pada tulisan ini kita akan belajar mengenai fungsi eksponensial. Pada kurikulum 2013 revisi materi ini dipelajari di kelas X pada matematika peminatan. Penerapan fungsi eksponensial banyak ditemui di berbagai bidang, seperti bidang ekonomi, fisika, biologi, pertanian, dan sebagainya. Jadi, materi ini sangat penting untuk kita pelajari.

Definisi Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial adalah fungsi yang memetakan setiap $\displaystyle x\in$ bilangan real ke $\displaystyle f(x)=a^x$ dengan $a\ne 1$ dan $a\gt 0$

Bentuk umum fungsi eksponensial adalah $\displaystyle y=f(x)=k a^x$  atau dapat ditulis $\displaystyle f:x\rightarrow ka^x$

Pada bentuk umum di atas, $x$ disebut sebagai variabel atau peubah bebas dengan domain  $\displaystyle D=\left\{-\infty \lt x\lt \infty, x\in R \right\}$.  $a$ disebut bilangan pokok atau basis, dengan syarat $a\gt 0$ dan $a\ne 1$. $y$ disebut sebagai variabel tak bebas dak $k$ disebut sebagai konstanta dengan $k\ne 0$.

 Grafik Fungsi Eksponensial

Grafik fungsi eksponensial dengan bentuk $\displaystyle f(x)=k. a^x$ atau $\displaystyle y=k.a^x$ jika kita gambar pada diagram cartesius, maka:

Kurva akan monoton naik jika $a\gt 1$

Kurva akan monoton turun jika $0\lt a\lt 1$

Kurva memotong sumbu $Y$ di titik $(0, k)$

Sumbu $X$ merupakan Asimtot

Perhatikan gambar di bawah ini

Grafik Fungsi Eksponensial $y=k.a^x$ dengan $a\gt 1$



Dari gambar di atas, bisa kita lihat bahwa:

1). Kurva fungsi eksponenseial $y=f(x)=k.a^x$ dengan $k\ne 0$ dan $a>1$, kurva monoton naik, karena untuk setiap $x_1 \lt x_2$ maka $f(x_1)\lt f(x_2)$ atau dengan kata lain "ketika nilai $x$ semakin besar, maka nilai $y$ pun semakin besar, dan sebaliknya ketika $x$ semakin kecil, maka nilai $y$ pun semakin kecil". 

2). Kurva fungsi eksponensial $y=f(x)=k.a^x$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0, k)$.

3). Sumbu $X$ sebagai asimtot, maksudnya untuk $x$ menuju $-\infty$ maka nilai $y$ semakin mendekati nol atau dengan kata lain kurva semakin mendekati sumbu $X$ namun  tidak pernah memotong sumbu $X$.

Grafik Fungsi Eksponensial $y=k.a^x$ dengan $1\lt a\lt 1$

Dari gambar di atas, bisa kita lihat bahwa:

1). Kurva fungsi eksponenseial $y=f(x)=k.a^x$ dengan $k\ne 0$ dan $a>1$, kurva monoton turun, karena untuk setiap $x_1 \lt x_2$ maka $f(x_1)\gt f(x_2)$ atau dengan kata lain "ketika nilai $x$ semakin besar, maka nilai $y$ pun semakin kecil, dan sebaliknya ketika $x$ semakin kecil, maka nilai $y$ pun semakin besar". 

2). Kurva fungsi eksponensial $y=f(x)=k.a^x$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0, k)$.

3). Sumbu $X$ sebagai asimtot, maksudnya untuk $x$ menuju $\infty$ maka nilai $y$ semakin mendekati nol atau dengan kata lain kurva semakin mendekati sumbu $X$ namun  tidak pernah memotong sumbu $X$.

 Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 

Perhatikan gambar berikut:
Tentukan persamaan grafik fungsi pada gambar di atas!

 Pembahasan:

Misal persamaan kurva adalah $y=ka^x$. 
Pada gambar di atas, dapat kita lihat bahwa kurva memotong sumbu $Y$ di titik $(0, 4)$ maka kita peroleh nilai $k=4$, sehingga persamaan kurva adalah $y=4a^x$

Pada gambar di atas, diketahui pula kurva melalui titik $(1, 8)$. Berdasarkan informasi tersebut, kita akan menentukan nilai $a$ dengan mensubstitusi titik $(1,8)$ terhadap fungsi $y=4a^x$, maka kita peroleh:

$\begin{align*}y&=4a^x\\8&=4a^1\\a&=2\end{align*}$

Dengan mensubstitusi nilai $k=4$ dan nilai $a=2$ terhadap persamaan $y=ka^x$ maka kita peroleh persamaan grafik fungsi sebagai berikut:

$\begin{align*}y&=4.2^x\\&=2^2.2^x\\&=2^{x+2}\end{align*}$

Maka persamaan grafik fungsi di atas adalah $\displaystyle y=2^{x+2}$

Demikian pembahasan singkat mengenai fungsi eksponensial, jika anda menginginkan artikel ini dalam format pdf silakan klik tombol download di bawah ini, semoga bermanfaat.



Download Soal Ujan Nasional (UN) SMA 2018 Fisika

Add Comment



 m4th-lab  Download Soal UN Fisika 2018

Ujian nasional yang dikenal dengan ujian nasional atau UN merupakan kegatan yang setiap tahun dilaksanakan khusus untuk ujung untuk setiap jenjenang, baik SD, SMP maupun SMA. Untuk tingkat SMP / MTs dan SMA / MA / SMK, sebagian besar sekolah sudah menerapkan ujian nasional dengan menggunkan komputer yang dikenal dengan UNBK (Ujian Nasional Berbasis Komputer) meskipun beberapa sekolah (sebagian kecil) masih ada yang melaksanakan Ujian Nasional Berbasis Kertas dan Pensil (UNKP), hal ini menyebabkan sulitnya kita memperoleh soal-soal Ujian Nasional.




Sebelumnya, m4th-lab telah membagikan beberapa paket naskah soal UN 2018 Matematika SMA jurusan IPA dan IPS dan naskah soal UN 2018 Matematika SMK kelompok TKP  dan juga soal UN 2018 matematika  SMK  kelompok AKP .  Soal-soal tersebut merupakan naskah asli Ujian Nasional.

Pada kesempatan ini, kami akan membagikan soal Ujian Nasional (UN) tahun 2018 bidang fisika, yang dapat dengan mudah anda download sebagai bahan persiapan menghadapi UN 2019 mendatang. Silakan download melalui link di bawah ini:



Selain itu, silakan download juga naskah asli soal-soal Ujian Nasional legkap semua pelajaran untuk 10 tahun terakhir melalui link di bawah ini



Itulah soal UN Fisika Tahun 2018 yang dapat kami bagikan. Semoga bermanfaat.

Integral Tak Tentu - Matematika Wajib Kelas XI

Add Comment



Pada kurikulum 2013 revisi, materi integral dipelajari di kelas XI pada matematika wajib.
Dalam kalkulus, ada dua konsep dasar integral yang dipelajari, yaitu integral tak tentu (indefinite integral) dan integral tentu (definite integral).

Konsep integral tak tentu merupakan kebalikan atau invers dari turunan atau diferensial, oleh karena itu integral disebut juga sebagai anti turunan. Dengan kata lain, integral tak tentu atau anti diferensial merupakan cara untuk menemukan fungsi asal dari suatu fungsi yang sudah diturunkan.

Untuk lebih jelasnya perhatikan penjelasan mengenai integral berikut ini  dilengkapi dengan contoh soal dan pembahasan.

Integral Tak Tentu

Seperti yang sudah disebutkan di atas, integral merupakan kebalikan dari turunan. Sebagai contoh, perhatikan ilustrasi berikut:

Misal ada soal seperti ini, Tentukan turunan dari $\displaystyle f(x)=4x^3+2x^2-5x+3$  berdasarkan konsep turunan yang pernah kita pelajari maka kita bisa menjawab bahwa turunan dari $\displaystyle f(x)=4x^3+2x^2-5x+3$ adalah $\displaystyle f'(x)=12x^2+4x-5$.

Tapi bagaimana jika pertanyaanya adalah, tentukan fungsi $f(x)$ jika diketahui turunan dari $f(x)$ adalah $f'(x)=12x^2+4x-5$. Untuk menjawab pertanyaan tersebut kita butuh konsep antiturunan atau integral.

Jika $F'(x)=f(x)$, maka $\displaystyle\int f(x)=F(x)+C$ dengan $C$ suatu konstanta dan $C\in$ bilangan real.

  Rumus Dasar Integral

Untuk setiap bilangan real $n\ne -1$, maka: $$\int x^n dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$$
Kebenaran rumus ini dapat dengan mudah kita buktikan dengan menurunkan fungsi pada ruas kanan sebagai berikut:

$\displaystyle\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{n+1}x^{x+1}+C\right)=\frac{n+1}{n+1}x^{(n+1)-1}+0=x^n$

  Rumus perkalian skalar
$$\int k f(x) dx=k\int f(x) dx $$ untuk setiap $k$ bilangan real

Perhatikan beberapa contoh soal dan pembahasan berikut ini:

  Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Integral
$$\int\left(f(x)\pm g(x)\right)dx=\int f(x)dx\pm\int g(x) dx$$

Contoh 1

$\displaystyle \int x^4 dx=$ ....

  Jawab:
Dalam integral di atas, $n=4$. Dengan menggunkan Rumus Dasar Integral, maka kita peroleh

$\begin{align*}\int x^4 dx&=\frac{1}{4+1}x^{4+1}+C\\&=\frac{1}{5}x^5+C\end{align*}$

  Contoh 2

$\displaystyle\int \frac{1}{x^3} dx=$ ....

  Jawab:
$\displaystyle \frac{1}{x^3}$ dapat dinyatakan sebagai $x^{-3}$, maka:

$\begin{align*}\int\frac{1}{x^3} dx&=\int x^{-3} dx\\&=\frac{1}{-3+1}x^{-3+1}+C\\&=-\frac{1}{2}x^{-2}+C\\&=-\frac{1}{2x^2}+C\end{align*}$

  Contoh 3

$\displaystyle\int \sqrt[3]{x^2}=$ ....

 Jawab:

$\displaystyle\sqrt[3]{x^2}$ dapat dinyatakan sebagai $\displaystyle x^{\frac{2}{3}}$, maka:

$\begin{align*}\int \sqrt[3]{x^2} dx&=\int{x^{\frac{2}{3}}}dx\\&=\frac{1}{\frac{2}{3}+1}x^{\frac{2}{3}+1}+C\\&=\frac{1}{\frac{5}{3}}x^{\frac{5}{3}}+C\\&=\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}+C\\&=\frac{3}{5}x\sqrt[3]{x^2}+C\end{align*}$

Baca juga : Download Soal Integral Tak Tentu pdf 

  Contoh 4

$\displaystyle\int {4x^3} dx=$ ....

  Jawab:

$\begin{align*}\int{4x^3}dx&=4\int{x^3}dx\\&=4.\frac{1}{3+1}x^{3+1}+C\\&=\frac{4}{4}x^4+C\\&=x^4+C\end{align*}$

  Contoh 5

$\displaystyle\int \left(3x^2-4x+5\right)=$ ....

  Jawab:

$\begin{align*}\int{\left(3x^2-4x+5\right)dx}&=3\int x^2 dx-4\int x dx+5\int dx\\&=3\left(\frac{1}{3}x^3\right)-4\left(\frac{1}{2}x^2\right)+5x+C\\&=x^3-2x^2+5x+C\end{align*}$

  Contoh 6

$\displaystyle\int \left(x^2-3\right)^2 dx=$ ....

  Jawab:

$\begin{align*}\int{\left(x^2-3\right)^2} dx&=\int\left(x^4-6x^2+9\right)dx\\&=\int x^4 dx-6\int x^2 dx+9\int dx\\&=\frac{1}{5}x^5-6\left(\frac{1}{3}x^3\right)+9x+C\\&=\frac{1}{5}x^5-2x^3+9x+C\end{align*}$

  Contoh 7

$\displaystyle\int\left(\frac{x^2+1}{\sqrt{x}}\right)dx=$ ....

  Jawab:

$\begin{align*}\int\left(\frac{x^2+1}{\sqrt{x}}\right)dx&=\int\left(\frac{x^2}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx\\&=\int\left(\frac{x^2}{x^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}\right)dx\\&=\int\left(x^{\frac{3}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}\right)dx\\&=\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+2x^{\frac{1}{2}}+C\\&=\frac{2}{5}x^2\sqrt{x}+2\sqrt{x}+C\end{align*}$

Demikianlah contoh soal dan pembahasan integral tak tentu.
Tunggu pembahasan integral selanjutnya di blog ini



Perbedaan Tak Terdefinisi, Tak Hingga dan Tak Tentu [masalah pembagian dengan 0]

Add Comment



Dalam matematika banyak sekali istilah yang perlu kita pahami. Salah satu masalah yang muncul, ketika kita menemukan kasus pembagian suatu bilangan dengan nol, seperti beberapa pertanyaan berikut yang mungkin anda sendiri pernah mempertanyakannya, "Apakah  hasil dari $\frac{1}{0}$ adalah tak terdefinisi atau tak hingga?",  "Bagaimana dengan $\frac{0}{0}$?", "Berapa nilai dari $tan{\frac{\pi}{2}}$ ?", "Apakah $\displaystyle\lim_{x\to 1}{\frac{1}{x-1}}=\infty$?" dan banyak pertanyaan lain terkait pembagian nol.

Baiklah, mari kita bahas beberapa istilah berikut yaitu Tak terdefinisi, tak hingga, dan tak tentu

Tak Terdefinisi (Undefined)

Sesuai namanya "tak terdefinisi" adalah sesuatu yang tidak bisa kita definisikan. Dalam matematika, banyak hal yang tidak terdefinisi (undefined) beberapa contoh diantaranya misalnya dalam geometri, kita sering mendengar dengan istilah "titik", namun tidak ada definisi yang menjelaskan apa itu titik. Contoh lain di luar geometri misalnya suatu fungsi $\displaystyle f(x)=\sqrt{x}$ tidak terdefinisi untuk $x$ negatif dengan $x$ anggota bilangan real dan $f(x)\in$ Real.

Dalam aritmetika, ketika kita membagi suatu bilangan dengan nol, maka hasilnya adalah tidak terdefinisi (bukanlah tak hingga). Perhatikan ilustrasi berikut:

Kita tahu bahwa pembagian adalah invers (balikan) dari perkalian, misal $\displaystyle\frac{a}{b}=c$ maka dapat kita nyatakan $\displaystyle c\times b=a$.

Contoh, $\displaystyle\frac{18}{3}=6$ dapat kita nyatakan $6 \times 3=18$


Namun, bagaimana dengan $\displaystyle\frac{18}{0}=x$, maka $x\times 0=18$, apakah ada nilai $x$ yang memenuhi? tentu saja jawabannya tidak. Oleh sebab itu, berapapun bilangannnya (selain nol) jika dibagi dengan 0, maka tidak bisa didefinisikan (tak terdefinisi).


Masalah pembagian dengan 0 ini, saya sarankan anda membaca salah satu artikel di mathforum.org mengenai division by zero atau klik disini




Tak Hingga (Infinity)

Istilah "Tak Hingga" atau "Tak Berhingga" atau "Tak Terhingga" merupakan istilah yang kita gunakan untuk menunjukkan suatu nilai yang amat sangat besar (positif tak hingga) atau suatu nilai yang amat sangat kecil (negatif tak hingga), meskipun demikian "tak hingga" bukanlah suatu bilangan (baik real maupun kompleks).

Tak hingga disimbolkan dengan $\displaystyle\infty$.


Dalam kalkulus, tak hingga $(\displaystyle\infty)$ dapat kita perlakukan layaknya lambang suatu bilangan namun harus mengikuti beberapa aturan sebagai berikut:

  1. $\displaystyle a+\infty=\infty$ untuk $a\in$ Bilangan Real
  2. $\displaystyle a-\infty=-\infty$ untuk $a\in$ Bilangan Real
  3. $\displaystyle a\times\infty=\infty$ untuk $a>0$ dan $a\in$ Bilangan Real
  4. $\displaystyle a\times(-\infty)=-\infty$ untuk $a>0$ dan $a\in$ Bilangan Real
  5. $\displaystyle a\times \infty=-\infty$ untuk $a\lt 0$ dan $a\in$ Bilangan Real
  6. $\displaystyle a\times (-\infty)=\infty$ untuk $a\lt 0$ dan $a\in$ Bilangan Real
  7. $\displaystyle 0+\infty=\infty$
  8. $\displaystyle 0-\infty=-\infty$
  9. $\displaystyle\frac{\infty}{a}=\infty$ untuk $a\gt 0$ dan $a\ne\infty$
  10. $\displaystyle\frac{-\infty}{a}=-\infty$ untuk $a\gt 0$ dan $a\ne \infty$
  11. $\displaystyle\frac{a}{\infty}=0$
Sebagai tambahan literatur, silakan baca ini .


Bentuk Tak Tentu (Indeterminate Form)

Sama halnya seperti tak hingga, "bentuk tak tentu" bukanlah suatu bilangan.
Salah satu contoh bentuk tak tentu adalah pembagian nol dengan nol $\displaystyle\left(\frac{0}{0}\right)$. Mungkin beberapa orang mengira bahwa nilai dari $\displaystyle\frac{0}{0}$ adalah 1, karena pembilang dan penyebutnya sama. Namun, hal tersebut keliru. Karena $\displaystyle\frac{0}{0}$ tidak menghasilkan nilai tunggal, karena itu disebut sebagai bentuk tak tentu. Misal $\displaystyle\frac{0}{0}=k$ maka $0\times k=0$, persamaan $0\times k=0$ terpenuhi untuk sembarang nilai $k$ bilangan real, untuk itu $\displaystyle\frac{0}{0}$ tidak memiliki solusi tunggal

Dalam kalkulus, dikenal beberapa bentuk tak tentu sebagai berikut:

  1. $\displaystyle\frac{0}{0}$
  2. $\displaystyle\infty-\infty$
  3. $\displaystyle\frac{\infty}{\infty}$
  4. $\displaystyle 0\times \infty$
  5. $\displaystyle 0^0$
  6. $\displaystyle \infty^0$
  7. $\displaystyle 1^\infty$



Beberapa Masalah Terkait 

Berikut ini beberapa masalah yang berkaitan dengan istilah tak terdefinisi, tak hingga dan tak tentu

1. Dalam Trigonometri

Saya pribadi sering bertanya pada anak didik "Berapa nilai dari $\tan{90^\circ}$?". Banyak diantaranya yang menjawab "Tak hingga" ada juga yang menjawab "Tak terdifinisi". Menurut anda mana yang banar?

Nilai dari $\tan{90^\circ}$ adalah tak terdefinisi. Perhatikan grafik dari $y=\tan{x}$ berikut ini:
Dari grafik $y=\tan{x}$ di atas, bisa kita lihat bahwa kurva sama sekali tidak pernah menyentuh $x=\frac{\pi}{2}$, jadi tampak jelas bahwa nilai dari $\tan{90^\circ}$ tak terdefinisi. Bahkan secara umum dapat dikatakan sebagai berikut:





Dalam Trigonometri, $\tan{\theta}$, $\sec{\theta}$ tidak terdefinisi untuk $\theta=\left(n-\frac{1}{2}\right)\times 180^\circ$, dan $\cot{\theta}$ dan juga $\csc{\theta}$ tidak terdefinisi untuk $\theta=n\times 180^\circ$

2. Dalam Masalah Limit

Bagaimana jika saya bertanya berapakah nilai dari $\displaystyle\lim_{x\to 1}{\frac{1}{x-1}}$?

Jika jawaban anda adalah $\infty$ atau "tak hingga", maka jawaban anda belum tepat.

Nilai suatu limit fungsi ada atau terdefinisi jika limit kiri nilainya sama dengan limit kanan.

Untuk kasus soal di atas, limit kiri fungsi tersebut adalah negatif tak hingga, bisa kita tulis:
$$\lim_{x\to 1^-}{\frac{1}{x-1}}=-\infty$$
Sementara limit kanan fungsi tersebut adalah positif tak hingga, bisa kita tulis:
$$\lim_{x\to 0^+}{\frac{1}{x-1}}=+\infty$$
Karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan, maka $\displaystyle\lim_{x\to 1}{\frac{1}{x-1}}$ adalah tidak terdefinisi, artinya limit tersebut tidak memiliki penyelesaian.
$$\lim_{x\to 1^-}{\frac{1}{x-1}}\ne\lim_{x\to 1^+}{\frac{1}{x-1}}\Rightarrow \lim_{x\to 1}{\frac{1}{x-1}}=\text{Tak Terdefinisi}$$

untuk memastikan, perhatikan grafik $\displaystyle y=\frac{1}{x-1}$ berikut ini:




Bisa kita lihat nilai untuk $x=1$ pendekatan dari kiri dan kanan tidaklah sama.

Jadi, tidak semua limit bisa kita cari nilainya, kita harus memastikan apakah limit tersebut terdefinisi atau tidak.

Demikianlah masalah terkait istilah tak terdefinisi, tak hingga, dan tak tentu.

Artikel ini hanya ditulis oleh penulis yang sangat minim ilmu, jadi sebaiknya jangan jadikan tulisan ini sebagai referensi utama, silakan anda cari referensi lain yang lebih terpercaya.

Semoga bermanfaat

Trik Menyelesaikan Limit Tak Hingga Akar Pangkat 3

Add Comment



Kesempatan kali ini saya akan membahas bagaimana cara menyelesaikan persmalahan limit mendekati tak hingga yang saat ini dipelajari di kelas XII pada mata pelajaran matematika peminatan (untuk kurikulum 2013 revisi). Namun yang akan kita bahas, saya khususkan membahas bagaimana cara menyelesaikan limit tak hingga bentuk $\infty-\infty$ yang melibatkan akar pangkat 3.

Alasan kenapa saya menulis masalah ini, karena kebetulan hari ini pada salah satu grup diskusi matematika yang saya ikuti, ada salah satu pertanyaan yang menanyakan masalah terkait limit tak hingga akar pangkat 3, jadi rasanya perlu untuk saya bahas.

Bentuk limit  tak hingga akar pangkat 3 yang akan kita bahas yaitu yang bentuknya sebagai berikut:

$$\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt[3]{ax^3+bx^2+cx+d}-\sqrt[3]{ax^3+px^2+qx+r}\right)$$
Jika kita substitusi akan diperoleh $\infty-\infty$ (bentuk tak tentu). Tentu saja penyelesaiannya bukan itu.

Kita tidak bisa menghilangkan bentuk akar dengan cara kali sekawan seperti halnya akar pangkat 2. Namun, kita dapat memanfaatkan bentuk aljabar berikut menghilangkan bentuk akar pangkat 3:

$$(m^3-n^3)(m^2+mn+n^3)$$
Menemukan Cara Cepat Menyelesaikan Limit Tak hingga Akar Pangkat Tiga

Mari kita kembali ke bentuk umum permasalah yang akan kita selesaikan yaitu:

$$\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt[3]{ax^3+bx^2+cx+d}-\sqrt[3]{ax^3+px^2+qx+r}\right)$$
Untuk menghemat penulisan, saya akan gunakan pemisalan sebagai berikut:
$\displaystyle m={\sqrt[3]{ax^3+bx^2+cx+d}}$
$\displaystyle n={\sqrt[3]{ax^3+px^2+qx+r}}$

maka:

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt[3]{ax^3+bx^2+cx+d}-\sqrt[3]{ax^3+px^2+qx+r}\right)=\lim_{x\to\infty}(m-n)$

Kita kalikan dengan $\displaystyle\frac{m^2+mn+n^2}{m^2+mn+n^2}$, maka kita peroleh:


$\begin{align*}\lim_{x\to\infty}(m-n)\times\frac{m^2+mn+n^2}{m^2+mn+n^2}&=\lim_{x\to\infty}{\frac{(m-n)(m^2+mn+n^2)}{m^2+mn+n^2}}\\&=\lim_{x\to\infty}{\frac{m^3-n^3}{m^2+mn+n^2}}\end{align*}$


sekarang, kita substitusikan kembali $\displaystyle m={\sqrt[3]{ax^3+bx^2+cx+d}}$ dan $\displaystyle n={\sqrt[3]{ax^3+px^2+qx+r}}$ ke bentuk limit terakhir yang kita peroleh:



Karena kita berada dalam konteks limit mendekati tak hingga, maka yang akan kita ambil derajat tertinggi dari penyebut dan pembilang, sehingga kita peroleh:

$\begin{align*}\lim_{x\to\infty}\frac{(b-p)x^2}{(\sqrt[3]{ax^3})^2+(\sqrt[3]{ax^3})(\sqrt[3]{ax^3})+(\sqrt[3]{ax^3})^2}&=\lim_{x\to\infty}{\frac{(b-p)x^2}{(\sqrt[3]{ax^3})^2+(\sqrt[3]{ax^3})^2+(\sqrt[3]{ax^3})^2}}\\&=\lim_{x\to\infty}{\frac{(b-p)x^2}{3(\sqrt[3]{ax^3})^2}}\\&=\lim_{x\to\infty}{\frac{(b-p)x^2}{3\sqrt[3]{a^2}x^2}}\\&=\frac{b-p}{3\sqrt[3]{a^2}}\end{align*}$


Dari sederet langkah yang kita lakukan di atas, kita peroleh kesimpulan:
$$\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt[3]{ax^3+bx^2+cx+d}-\sqrt[3]{ax^3+px^2+qx+r}\right)=\frac{b-p}{3\sqrt[3]{a^2}}$$

Agar mengetahui bagaimana penerapan formula di atas untuk menyelesaikan permasalahan limit tak hingga akar pangkat 3, perhatikan beberapa contoh soal dan pembahasan berikut ini:

Baca: Download bank soal limit tak hingga pdf 

Contoh 1
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}{\left(\sqrt[3]{x^3+12x^2+4x-1}-\sqrt[3]{x^3-6x^2+2x+10}\right)}=$ ....

 Pembahasan:

$\begin{align*}\lim_{x\to\infty}{\left(\sqrt[3]{x^3+12x^2+4x-1}-\sqrt[3]{x^3-6x^2+2x+10}\right)}&=\frac{12-(-6)}{3\sqrt[3]{1^2}}\\&=\frac{12+6}{3}\\&=\frac{18}{3}\\&=6\end{align*}$
 Contoh 2

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}{\left(\sqrt[3]{8x^3+12x^2}-(2x+2)\right)}=$ ....

 Pembahasan:

$\begin{align*}\lim_{x\to\infty}\left ( \sqrt[3]{8x^3+12x^2}-(2x+2)] \right )&=\lim_{x\to\infty}\left ( \sqrt[3]{8x^3+12x^2} -\sqrt[3]{(2x+2)^3}\right )\\&=\lim_{x\to\infty}\left ( \sqrt[3]{8x^3+12x^2} -\sqrt[3]{8x^3-24x^2+24x-8}\right )\\&=\frac{2-(-24)}{3.\sqrt[3]{8^2}}\\&=\frac{36}{12}\\&=3\end{align*}$

Demikianlah pembahasan terkait materi limit tak hingga akar pangkat 3. Semoga bermanfaat


Download Bank Soal Induksi Matematika pdf

2 Comments

Pada tulisan sebelumnya, kita telah membahas materi iduksi matematika, meliputi induksi matematika sederhana, induksi matematika umum, dan induksi matematika kuat , bahkan sudah saya sertakan pula beberapa soal dan pembahasan terkait materi induksi matematika yang dipelajari di kelas 11 semester ganjil matematika wajib untuk kurikulum 2013 revisi.

Cara paling efektif untuk belajar matematika tentun saja dengan banyak berlatih berbagai tipe soal dengan taraf kesukaran yang beragam. Untuk itu, untuk menunjang proses belajar adik-adik terkait materi induksi matematika, silakan adik-adik download soal induksi mateatika berikut, silakan di print dan gunakan sebagai bahan latihan.

Bank soal materi induksi matematika yang kami bagikan ini terdiri dari 29 butir soal meliputi pembuktian deret bilangan, pembuktian keterbagian, dan pembuktian pertidaksamaan dengan menggunkan induksi matematika. File tersebut berformat pdf.

Sebelum adik-adk download, perhatikan pratinjau berikut ini:


 Download Soal Induksi 

Demikian soal induksi matematika yang dapat kami bagikan, semoga bermanfaat