Loading...

Download Pembahasan UNBK Matematika SMP Tahun 2019 Paket 1

Add Comment

Download Pembahasan Ujian Nasional UNBK/UNKP SMP Tahun 2019 Matematika Paket 1 format pdf

Sebelumnya kami telah membagikan beberapa paket soal yang merupakan naskah asli soal Ujian Nasional baik UNBK maupun UNKP Matematika SMP tahun 2019  bahkan untuk soal UNBK/UNKP SMP 2019 semua pelajaran sudah kami unggah juga di blog ini dengan format pdf yang dapat dengan mudah anda download dan anda print sebagai referensi tambahan untuk mempersiapkan diri menghadapai Ujian Nasional tahun 2020 ini. 

Pada kesempatan ini, kami akan membagikan pembahasan soal UNBK Matematika SMP Tahun 2019 Paket 1 lengkap sebanyak 40 soal. Untuk pembahasan soal UN matematika SMP Tahun 2019 paket lainnya insyaAlloh akan kami upload di blog ini pada kesempatan lain.

Berikut ini pembahasan Ujian Nasional Matematika SMP/MTs tahun 2019 paket 1:




Demikianlah pembahasan soal UNBK Matematika SMP Tahun 2019 Paket 1 yang dapat kami bagikan. 

Alangkah lebih baik jika adik-adik tidak hanya mempersiapkan diri menghadapi Ujian Nasional hanya dengan mempelajari soal Asli UN Tahun 2019, namun soal UN beberpa tahun kebelakang. Di blog ini kami juga menyediakan soal Asli Ujian Nasional beberapattahun terakhir lengkap semua pelajaran. Jika berminat, silakan klik link berikut ini:
Demikianlah kumpulan naskah asli Ujian Nasional UNBK dan UNKP SMP/MTs beberapa tahun terakhir yang dapat kami bagikan.

Untuk mendownload file-file di blog ini, pastikan sebelumnya sudah login ke akun gmail atau google drive terlebih dahulu, jika masih mengalami kendala silakan coba menggunakan PC/laptop.

Silakan gabung di Fans Page Facebook, Channel Telegram untuk memperoleh update terbaru, dan Subscribe Channel YouTube m4th-lab untuk memperoleh video pembelajaran matematika secara gratis, untuk mengikuti tautan klik pada tombol di bawah ini:


m4th-lab Youtube Channel: 


m4th-lab Facebook Fans Page:


m4th-lab Telegram Channel:

@banksoalmatematika


Download Soal UNBK SMA Tahun 2019 Matematika Program IPS Paket 2

Add Comment

Download Soal Asli Ujian Nasional (UNBK) SMA tahun 2019 Matematika Program IPS paket 2 format pdf

Sebelumnya kami telah membagikan salinan soal UNBK SMA tahun 2019 matematika program IPA sebanyak 3 paket soal dan salinan soal UNBK SMA tahun 2019 matematika program IPS paket 1 lengkap denga pembahasannya . Bahkan kami juga sudah membagikan soal Ujian Nasional Berbasis Kertas dan Pensil (UNKP) SMA Tahun 2019 lengkap semua pelajaran yang dapat anda download sebagai bahan persiapan menghadapai UNBK berikutnya.

Sebagai referensi tambahan, pada kesempatan ini kami bagikan soal asli UNBK SMA 2019 matematika program IPS paket 2, untuk pembahasannya insya Alloh akan segera menyusul. Pada soal UNBK matematika program IPS paket 2 ini terdapat beberapa soal yang berbeda dari paket soal yang sebelumnya kami bagikan, jadi kami sarankan anda mencoba mempelajari soal paket 2 ini.

Baiklah, tanpa basa basi lagi berikut ini soal UNBK 2019 Matematika SMA Program IPS Paket 2:




Demikianlah Naskah Asli Soal UN SMA 2019 matematika program yang dapat kami bagikan.

Untuk mendownload naskah asli soal UNBK SMP/MTs, SMA/MA, dan juga SMK tahun 2019, silakan kunjungi link berikut

Untuk mendownload file-file di blog ini, pastikan sebelumnya sudah login ke akun gmail atau google drive terlebih dahulu, jika masih mengalami kendala silakan coba menggunakan PC/laptop.

Selain itu, silakan download juga naskah asli soal-soal Ujian Nasional lengkap semua pelajaran untuk 11 tahun terakhir melalui link di bawah ini




Silakan gabung di Fans Page Facebook, Channel Telegram untuk memperoleh update terbaru, dan Subscribe Channel YouTube m4th-lab untuk memperoleh video pembelajaran matematika secara gratis, untuk mengikuti tautan klik pada tombol di bawah ini:


m4th-lab Youtube Channel: 


m4th-lab Facebook Fans Page:


m4th-lab Telegram Channel:

@banksoalmatematika


Download Soal UNBK SMA Tahun 2019 Matematika Program IPA Paket 3

Add Comment

Download Soal Asli UNBK Tahun 2019 Matematika SMA Program IPA Paket 3 format pdf

Sebelumnya kami telah membagikan soal UNBK (Ujian Nasional Berbasis Komputer) SMA tahun 2019 Matematika program IPA paket 1  dan juga pembahasannya  serta soal UNBK SMA tahun 2019 Matematika IPA Program IPA paket 2 . Bahkan kami juga sudah membagikan  scan soal UNKP SMA tahun 2019 semua mata pelajaran lengkap . Soal-soal tersebut dapat anda gunakan sebagai bahan latihan untuk mempersiapkan diri menghadapai Ujian Nasional berikutnya baik UNBK maupun UNKP.

Sebagai referensi tambahan, pada kesempatan ini kami bagikan soal asli UNBK SMA 2019 matematika program IPA paket 3, untuk pembahasannya insya Alloh akan segera menyusul. Pada soal UNBK paket 3 ini terdapat beberapa soal yang berbeda dari paket soal yang sebelumnya kami bagikan, jadi kami sarankan anda mencoba mempelajari soal paket 3 ini.

Baiklah, tanpa basa basi lagi berikut ini soal UNBK 2019 Matematika SMA Program IPA Paket 3:





Demikianlah Naskah Asli Soal UN SMA 2019 matematika program yang dapat kami bagikan.

Untuk mendownload naskah asli soal UNBK SMP/MTs, SMA/MA, dan juga SMK tahun 2019, silakan kunjungi link berikut

Untuk mendownload file-file di blog ini, pastikan sebelumnya sudah login ke akun gmail atau google drive terlebih dahulu, jika masih mengalami kendala silakan coba menggunakan PC/laptop.

Selain itu, silakan download juga naskah asli soal-soal Ujian Nasional lengkap semua pelajaran untuk 11 tahun terakhir melalui link di bawah ini




Silakan gabung di Fans Page Facebook, Channel Telegram untuk memperoleh update terbaru, dan Subscribe Channel YouTube m4th-lab untuk memperoleh video pembelajaran matematika secara gratis, untuk mengikuti tautan klik pada tombol di bawah ini:


m4th-lab Youtube Channel: 


m4th-lab Facebook Fans Page:


m4th-lab Telegram Channel:

@banksoalmatematika



Download Soal UNBK SMA Tahun 2019 Matematika Program IPA Paket 2

Add Comment

Download Soal Asli UNBK Tahun 2019 Matematika SMA Program IPA Paket 2 format pdf

Sebelumnya kami telah membagikan soal UNBK (Ujian Nasional Berbasis Komputer) SMA tahun 2019 Matematika program IPA paket 1 dan juga pembahasannya . Bahkan kami juga sudah membagikan  scan soal UNKP SMA tahun 2019 semua mata pelajaran lengkap . Soal-soal tersebut dapat anda gunakan sebagai bahan latihan untuk mempersiapkan diri menghadapai Ujian Nasional berikutnya baik UNBK maupun UNKP.

Sebagai referensi tambahan, pada kesempatan ini kami bagikan soal asli UNBK SMA 2019 matematika program IPA paket 2, untuk pembahasannya insya Alloh akan segera menyusul. Pada soal UNBK paket 2 ini terdapat beberapa soal yang berbeda dari paket soal yang sebelumnya kami bagikan, jadi kami sarankan anda mencoba mempelajari soal paket 2 ini.

Baiklah, tanpa basa basi lagi berikut ini soal UNBK 2019 Matematika SMA Program IPA Paket 2:





Demikianlah Naskah Asli Soal UN SMA 2019 matematika program yang dapat kami bagikan.

Untuk mendownload naskah asli soal UNBK SMP/MTs, SMA/MA, dan juga SMK tahun 2019, silakan kunjungi link berikut

Untuk mendownload file-file di blog ini, pastikan sebelumnya sudah login ke akun gmail atau google drive terlebih dahulu, jika masih mengalami kendala silakan coba menggunakan PC/laptop.

Selain itu, silakan download juga naskah asli soal-soal Ujian Nasional lengkap semua pelajaran untuk 11 tahun terakhir melalui link di bawah ini




Silakan gabung di Fans Page Facebook, Channel Telegram untuk memperoleh update terbaru, dan Subscribe Channel YouTube m4th-lab untuk memperoleh video pembelajaran matematika secara gratis, untuk mengikuti tautan klik pada tombol di bawah ini:


m4th-lab Youtube Channel: 


m4th-lab Facebook Fans Page:


m4th-lab Telegram Channel:

@banksoalmatematika


Aturan Pencacahan - Menyusun Huruf pada Suatu Kata dengan Syarat Huruf Tertentu Tidak Berdekatan

1 Comment


Pada tulisan kali ini, saya akan membahas topik khusus yang akhir-akhin ini cukup sering dipertanyakan di grup-grup matematika mengenai banyak cara menyusun huruf-huruf pada suatu kata dengan syarat ada huruf tertentu yang tidak boleh berdekatan. Soal sejenis ini cukup sering muncul pada Ujian Pengetahuan (UP) UMKM PPG (Uji Kompetensi Mahasiswa Program Profesi Guru) bidang Profesional Pendidikan Matematika. Jadi, bagi anda yang saat ini sedang mempersiapkan diri menghadapai UP PPG anda datang ke blog yang tepat, karena pada tulisan ini saya akan mencoba membahas dengan cara yang paling sederhana dan mudah dipahami. 

Materi Prasyarat

Materi prasyarat untuk dapat mengerjakan soal "banyak cara menyusun huruf-huruf pada suatu kata dengan syarat ada huruf tertentu yang tidak boleh berdekatan" diantaranya, anda perlu memahami konsep permutasi dan kombinasi termasuk permutasi unsur yang sama. Jadi, pada tulisan ini saya tidak akan membahas dulu apa itu kombinasi dan permutasi, dan aturan permutasi unsur yang sama, namun akan langsung to the point ke permasalahan sesuai judul. 

Soal dan Pembahasan

Baiklah, kita langsung aja ke soal dan pembahasan. Soal-soal yang saya bahas berikut ini saya ambil dari soal-soal UP PPG / UTN (Ujian Tulis Nasional) yang pernah diujikan.

Soal 1 (UTN 2016)

Banyaknya cara menyusun kata BELERANG dengan syarat 2 huruf vokal tidak boleh berdekatan adalah ....
A. 7.200
B. 2.400
C. 960
D. 720

Pembahasan:
Salah satu alternatif termudah menyusun kata BELERANG dengan tidak ada huruf vokal berdekatan adalah dengan "mensisipkan" huruf-huruf vokal diantara huruf konsonan selain itu vokal juga bisa kita simpan diawal dan/atau diakhir kata. Pada kata BELERANG terdapat 3 huruf vokal yaitu E, E, A dan 5 huruf konsonan yaitu B, L, R, N, G. Posisi penempatan huruf vokal dan konsonan yang mungkin dapat anda lihat pada gambar di bawah ini:
5 buah kotak adalah tempat dimana kita akan "menyimpan" huruf konsonan, dan "ruang kosong" diantara kotak-kotak tersebut adalah tempat kita akan "menyimpan" huruf-huruf vokal. Banyaknya "ruang kosong" sama dengan banyak huruf konsonan ditambah 1. Sampai sini apakah cukup jelas?

Berikutnya, 3 hal yang perlu kita perhitungkan. Yaitu, "Berapa banyak cara kita menempatkan vokal?", "Berapa Banyak cara menyusun huruf vokal?" dan "Berapa banyak cara menyusun huruf konsonan?". Jika anda sudah dapat menjawab 3 pertanyaan di atas, maka dengan menggunakan aturan perkalian kita dapat memperoleh jawaban soal diatas. Baik, mari kita coba jawab soal tersebut:

1) Banyak cara menempatkan 3 huruf vokal pada 6 tempat (ruang kosong) yang tersedia adalah: $\displaystyle C_{3}^6$ cara. Logikanya sama dengan "mengambil 3 tempat dari 6 tempat yang tersedia"

2) Banyak cara menusun huruf-huruf vokal E, E, A adalah: $\displaystyle \frac{3!}{2!}$ (permutasi unsur  yang sama)

3) Banyak cara menyusun huruf-huruf konsonan B, L, R, N, G adalah: $5!$

Jadi, banyak cara menyusun kata BELERANG tanpa ada dua huruf vokal berdekatan adalah:

$\begin{align*}C_{3}^{6}.\frac{3!}{2!}.5!&=\frac{6.5.4.3!}{3!.3!}.\frac{3!}{2!}.5!\\&=60. 5!\\&=7200\end{align*}$

Jadi, terdapat sebanyak 7.200 cara

Untuk lebih jelas video pembahasan masalah banyak cara menyusun huruf-huruf pada suatu kata dengan syarat huruf tertentu tidak berdekatan dapat anda lihat di channel youtube m4thlab, atau klik di sini


Soal 2 (UTN 2016)

Cara menyusun huruf TERCEPAT sehingga tidak ada dua huruf vokal berdekatan ada sebanyak ....
A. 7.200
B. 3.600
C. 1.800
D. 1.200

Pembahasan:
Huruf-huruf vokal: E, E, A
Banyak huruf vokal: 3

Huruf-huruf konsonan:  T, R, C, P, T
Banyak huruf konsonan: 5

Banyak ruang kosong untuk kita menyimpan vokal adalah banyak konsonan ditambah 1 yaitu $5+1=6$ tempat

1) banyak cara menempatkan vokal: $\displaystyle C_{3}^{6}$ cara

2) Banyak cara menyusun huruf vokal E, E, A adalah: $\displaystyle\frac{3!}{2!}$ (terdapat dua huruf yang sama)

3) Banyak cara menyusun huruf konsonan T, R, C, P, T adalah; $\displaystyle \frac{5!}{2!}$ (terdapat dua huruf yang sama)

Banyak cara menyusun huruf-huruf pada kata TERCEPAT tanpa ada dua huruf vokal berdekatan adalah:

$\begin{align*}C_{3}^{6}.\frac{3!}{2!}.\frac{5!}{2!}&=\frac{6.5.4.3!}{3!.3!}.\frac{3!}{2!}.\frac{5!}{2!}\\&=30.5!\\&=3.600\end{align*}$


Soal 3

Cara menyusun huruf-huruf JAKARTA dengan tanpa ada dua huruf A yang berdekatan ada sebanyak ....
A. 120
B. 150
C. 180
D. 240
E. 270

Pembahasan:

Banyak huruf A ada 3
Banyak huruf selain  yaitu J, K, R, T  ada 4
Banyak "ruang kosong" untuk menyimpan A ada  $4+1=5$ tempat

1) Banyak cara menempatkan 3 huruf A pada 5 tempat tersedia adalah $C_{3}^{5}$ cara

2) Banyak cara menyusun 3 huruf A adalah $\displaystyle\frac{3!}{3!}=1$ cara

3) Banyak cara menyusun huruf selain A yaitu huruf J, K, R, T adalah $4!$ cara

Banyak cara menyusun huruf JAKARTA tanpa ada dua huruf A berdekatan adalah:

$\begin{align*}C_3^5.1.4!&=\frac{5.4.3!}{3!.2!}.1.4!\\&=10.4!\\&=240\end{align*}$

Jadi, terdapat 240 cara


Soal 4 (UP 2019 tahap 2)

Cara menyusun huruf-huruf PENCACAHAN dengan tanpa ada dua huruf vokal yang berdekatan ada sebanyak ....
A. $6(7!)$
B. $35(6!)$
C. $28(7!)$
D. $28(5!)$
E. $42(6!)$

Pembahasan:

Huruf-huruf vokal: E, A, A, A
Banyak huruf vokal: 4

Huruf konsonan: P, N, C, C, H, N
Banyak huruf konsonan: 6

Banyak "ruang kosong" tenpat menyimpan huruf vokal adalah $6+1=7$ tempat

1) Banyak cara menempatkan vokal adalah $\displaystyle C_4^7$ cara

2) Banyak cara menyusun huruf-huruf vokal E, A, A, A adalah $\displaystyle \frac{4!}{3!}$ cara

3) Banyak cara menyusun huruf-huruf konsonan P, N, C, C, H, N  adalah $\displaystyle\frac{6!}{2!.2!}$ cara

Banyak cara menyusun huruf-huruf PENCACAHAN  tanpa ada dua vokal berdekatan adalah:

$\begin{align*}C_4^7.\frac{4!}{3!}.\frac{6!}{2!.2!}&=\frac{7.6.5.4!}{4!.3!}.4.\frac{6!}{4}\\&=35(6!)\end{align*}$

Jadi, terdapat $35(6!)$ cara


Soal 5 (UP 2018)

Cara menyusun huruf-huruf ARITMETIKA dengan dua huruf vokal tidak berdekatan ada sebanyak ....
A. $36(7!)$
B. $35(6!)$
C. $18(6!)$
D. $28(5!)$
E. $30(7!)$

Pembahasan:

Huruf-huruf vokal: A, A, I, I, E
Banyak huruf vokal: 5

Huruf-huruf konsonan: R, T, T, M, K
Banyak huruf konsonan: 5

Tempat (ruang kosong) untuk menyimpan huruf vokal: $5+1=6$ tempat

Banyak cara menyusun huruf-huruf ARITMETIKA dengan tidak ada dua huruf vokal berdekatan adalah:

$\begin{align*}C_5^6.\frac{5!}{2!.2!}.\frac{5!}{2!}&=\frac{6!}{5!.1!}.\frac{5!}{2!.2!}.\frac{5!}{2!}\\&=15(6!)\end{align*}$


Jadi, banyak cara menyusun huruf-huruf ARITMETIKA dengan tidak ada dua huruf vokal berdekatan adalah $15(6!)$ (Tidak ada pada opsi jawaban)

Soal Latihan:

Jika anda sudah paham dengan beberapa contoh di atas, silakan anda coba soal berikut sebagai soal latihan, jawaban boleh anda tulis pada kolom komentar

Berapkah banyak cara menyusun huruf-huruf pada kata MATHEMATICS dengan tanpa ada 2 huruf vokal berdekatan?


Demikianlah penjelasan mengenai cara menentukan banyak cara menyusun huruf pada suatu kata dengan syarat huruf tertentu tidak berdekatan.

Cara Mudah Memahami Modulo - Persiapan OSN dan Ujian Pengetahuan (UP) PPG Profesional Matematika

Add Comment



Pernahkah anda mendengar kata Modulo atau Modulus? Bagi yang sudah terbiasa menghadapi soal-soal OSN pastinya tidak asing dengan modulo. Pada kesempatan ini saya akan sedikit membahas konsep modulo sebagai referensi tambahan bagi adik-adik yang sedang mempersiapkan diri menghadapi OSN matematika atau kompetisi matematika lainnya. Selain itu, berdasarkan informasi yang kami terima materi modulo juga merupakan materi yang diujikan pada Ujian Pengetahuan (UP) UKMPPG (Uji Kompetensi Mahasiswa Program Profesi Guru)

Apa itu Modulo?

Modulo biasa digunakan untuk mencari sisa dari pembagian (reminder) bilangan. Misalnya, "Berapakah sisa jika 123 dibagi 12?". Tentunya kita mengetahui bahawa $123=10\times 12+3$, yang artinya jika 123 dibagi 12 maka akan bersisa 3. Dengan menggunkan modulo dapat kita tulis $123\space\text{mod}\space 12=3$ atau $\text{mod}\space (123,12)=3$

Penulisan Modulo

Pada tulisan ini kami akan menggunakan tanda "$=$" agar lebih mudah dipahami, namun perlu anda ketahui secara internasional penulisan modulo adalah sebagai berikut:
$$a\equiv b\mod{m}$$
yang artinya $m$ membagi habis $(a-b)$ atau dengan kata lain "Jika $a$ dibagi $m$ maka akan bersisa $b$"

Contoh:
$30\equiv 2\mod{4}$

Artinya $4$ membagi habis $(30-2)$, atau "Jika 30 dibagi 4 maka akan berbsisa 2". Jika menggunkan tanda "$=$" dapat kita tulis $30\space\text{mod}\space 4=2$

Aturan/Kaidah Dasar Modulo

Berikut ini beberapa kaidah dasar yang perlu anda pahami untuk dapat menyelesaikan permasalahan-permasalahan terkait modulo


Kaidah Dasar 1

$$a\space\text{mod}\space n=(bn+c)\space \text{mod}\space n=c\space\text{mod}\space n$$
Contoh:

1) Berapakah sisa $7$ digabi $9$?

Jawab:
$7\space\text{mod}\space 9=7$
Jadi, 7 dibagi 9 akan bersisa 7

2) Berapakah sisa $35$ dibagi $8$?

Jawab:
$\begin{align*}35\space\text{mod}\space 8&=(4.8+3)\space\text{mod}\space 8\\&=3\space \text{mod}\space 8\\&=3\end{align*}$

Jadi, $35$ dibagi $8$ akan bersisa $3$.

3) Berapakah sisa $120$ dibagi $13$?

Jawab:
$\begin{align*}120\space\text{mod}\space 13&=(10.13-10)\space\text{mod}\space 13\\&=(-10)\space\text{mod}\space 13\\&=((-1).13+3)\space\text{mod}\space 13\\&=3\space\text{mod}\space 13\\&=3\end{align*}$

Jadi, $120$ dibagi $13$ bersisa $3$

Semoga kaidah dasar 1 ini dapat anda pahami, karena akan kita gunakan untuk soal-soal berikutnya.


Kaidah Dasar 2 (Linearitas penjumlahan/pengurangan)

$$(a+b)\space\text{mod}\space n=\left((a\space\text{mod}\space n)+(b\space\text{mod}\space n)\right)\space\text{mod}\space n$$

Contoh:

1) Berapakah sisa pembagian $(10+17+21)$ oleh $9$?

Jawab:
$\begin{align*}(10+17+21)\space\text{mod}\space 9&=(10\space\text{mod}\space 9+17\space\text{mod}\space 9+21\space\text{mod}\space 9)\space \text{mod}\space 9\\&=(1+8+3)\space\text{mod}\space 9\\&=12\space\text{mod}\space 9\\&=3\space\text{mod}\space 9\\&=3\end{align*}$


Jadi $(10+17+21)$ jika dibagi $9$ maka akan bersisa $3$

2) Berapakah sisa $(2011+2012+2013+\cdots+2018)$ dibagi $2019$?

Jawab:
$(2011+2012+2013+\cdots+2018)\space\text{mod}\space 2019\\=(-8-7-6-\cdots-1)\space\text{mod}\space 2019\\=(-36)\space \text{mod}\space 2019\\=\left((-1).2019+1983\right)\space\text{mod}\space 2019\\=1983$

Jadi, $(2011+2012+2013+\cdots+2018)$ jika dibagi $2019$ maka akan bersisa $1983$


Kaidah Dasar 3 (Linearitas perkalian)
$$(ab)\space\text{mod}\space n=\left((a\space\text{mod}\space n)(b\space \text{mod}\space n)\right)\space\text{mod}\space n$$
Contoh:

1) Berapakah sisa pembagian $(7\times 9\times 10)$ oleh $8$?

Jawab:
$\begin{align*}(7\times 9\times 10)\space \text{mod}\space 8&=\left((7\space\text{mod}\space 8)(9\space\text{mod}\space8)(10\space\text{mod}\space 8)\right)\space\text{mod}\space 8\\&=(7\times 1\times 2)\space\text{mod}\space 8\\&=14\space\text{mod}\space 8\\&=6\end{align*}$

2) Berpakah digit terakhir (satuan) dari $(2016\times 2017\times 2018\times 2019)$?


Jawab:

Menentukan digit terakhir (nilai satuan) sama dengan kita mencari sisa jika dibagi $10$

$(2016\times 2017\times 2018\times 2019)\space \text{mod}\space 10\\=(6\times 7\times 8\times 9)\space \text{mod}\space 10\\=(42\times 72)\space \text{mod}\space 10\\=(2\times 2)\space \text{mod}\space 10\\=4\space\text{mod}\space 10\\=4$

Jadi, digit terakhir dari $(2016\times 2017\times 2018\times 2019)$ adalah $4$


Kaidah Dasar 4 (Perpangkatan)
$$a^b\space\text{mod}\space n=\left((a\space \text{mod}\space n)^b\right)\space \text{mod}\space n$$

Contoh:

1) Berapakah sisa jika $7^{2019}$ dibagi $8$?

Jawab:
$\begin{align*}(7^{2019})\space \text{mod}\space 8&=\left((7\space\text{mod}\space 8)^{2019}\right)\space\text{mod}\space 8\\&=(-1)^{2019}\space \text{mod}\space 8\\&=(-1)\space \text{mod}\space 8\\&=7\end{align*}$

Jadi, $7^{2019}$ jika dibagi $8$ maka akan bersisa $7$

2) Berapakah sisa jika $3^{2009}$ dibagi oleh $41$?

Jawab:
$3^{2009}\space\text{mod}\space 41 \\=(3^{2008}.3)\space\text{mod}\space 41\\=\left((3^4)^{502}.3\right)\space \text{mod}\space 41\\=(81^{502}.3)\space\text{mod}\space 41\\=\left((2.41-1)^{502}.3\right)\space\text{mod}\space 41\\=\left((-1)^{502}.3\right)\space\text{mod}\space 41\\=(1.3)\space\text{mod}\space 41\\=3\space\text{mod}\space 41\\=3$

Jadi, $3^{2009}$ dibagi $41$ akan bersisa $3$

3) Berapakah sisa $\left(54^{54}+55^{55}\right)$ jika dibagi $7$?

Jawab:
$\left(54^{54}+55^{55}\right)\space\text{mod}\space 7\\=\left((8.7-2)^{54}\space\text{mod}\space 7+(8.7-1)^{55}\space\text{mod}\space 7\right)\space\text{mod}\space 7\\=\left((-2)^{54}\space\text{mod}\space 7+(-1)^{55}\space\text{mod}\space 7\right)\\=\left(((-2)^3)^{18}\space \text{mod}\space 7+(-1)\space \text{mod}\space 7\right)\space\text{mod}\space 7\\=\left((-8)^{18}\space\text{mod}\space 7+6\right)\space\text{mod}\space 7\\=\left(((-1).7+(-1))^{18}\space \text{mod}\space 7+6\right)\space\text{mod}\space 7\\=((-1)^18\space \text{mod}\space 7+6)\space \text{mod}\space 7\\=(1\space \text{mod}\space 7+6)\space \text{mod}\space 7\\=(1+6)\space\text{mod}\space 7\\=7\space \text{mod}\space 7=0$

Jadi, $54^{44}+55^{55}$ jika dibagi $7$ tidak bersisa 


Operasi pada Kongruensi Modulo

Apa yang akan terjadi jika bentuk $a\equiv b\space\text{mod}\space m$ kita olah dengan melakukan penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian pada kedua ruas? anda perlu memahami beberapa operasi pada kongruensi modulo

Penjumlahan Kedua Ruas

Jika bentuk $a\equiv b\space\text{mod}\space m$ kedua ruas kita tambah $c$, maka berlaku:
$$(a+c)\equiv (b+c)\space\text{mod}\space m$$
Contoh:
Jika pada $16\equiv 1\space\text{mod}\space 5$, kedua ruas kita tambah 3, maka kita peroleh: $19\equiv 4\space \text{mod}\space 5$. 

Dapat kita lihat untuk pernyataan $19\equiv 4\space\text{mod}\space 5$ bernilai benar, karena $19=3\times 5+4$ (19 bersisa 4 jika dibagi 5)

Pengurangan Kedua Ruas

Jika bentuk $a\equiv b\space \text{mod}\space m$ kedua ruas kita kurangi $c$, maka berlaku:
$$(a-c)\equiv(b-c)\space\text{mod}\space m$$
Contoh:
Jika bentuk $23\equiv 7\space\text{mod}\space 8$, kedua ruas kita kurangi $5$, maka kita peroleh: $18\equiv 2\space\text{mod}\space 8$.

Dapat kita lihat untuk pernyataan $18\equiv 2 \space\text{mod}\space 8$ bernilai benar, karena $18=2\times 8+2$

Perkalian Kedua Ruas

Jika bentuk $a\equiv b\space\text{mod}\space m$ kedua ruas kita kali $c$, maka berlaku:
$$(ac)\equiv(bc)\space\text{mod}\space m$$

Pembagian Kedua Ruas

Jika bentuk $a\equiv b\space\text{mod}\space m$ kedua ruas kita bagi $c$, maka berlaku:
$$a\equiv b\space\text{mod}\space\frac{m}{FPB(m,c)}$$

Demikianlah pembahasan konsep modulo yang dapat kami bagikan pada kesempatan ini. Jika ada kekeliruan pada tulisan ini mohon bantu koreksi dengan memberitahu kami melalui kolom komentar. Berikutnya insyaAlloh kami akan membahas Teorema Kecil Fermat (Fermat's Little Theorem) yang pastinya akan mempermudah perhitungan kita yang berkaitan dengan modulo. Sampai jumpa di tulisan berikutnya. Semoga bermanfaat