Aturan Pencacahan - Menyusun Huruf pada Suatu Kata dengan Syarat Huruf Tertentu Tidak Berdekatan

Pada tulisan kali ini, saya akan membahas topik khusus yang akhir-akhin ini cukup sering dipertanyakan di grup-grup matematika mengenai banyak cara menyusun huruf-huruf pada suatu kata dengan syarat ada huruf tertentu yang tidak boleh berdekatan. Soal sejenis ini cukup sering muncul pada Ujian Pengetahuan (UP) UMKM PPG (Uji Kompetensi Mahasiswa Program Profesi Guru) bidang Profesional Pendidikan Matematika. Jadi, bagi anda yang saat ini sedang mempersiapkan diri menghadapai UP PPG anda datang ke blog yang tepat, karena pada tulisan ini saya akan mencoba membahas dengan cara yang paling sederhana dan mudah dipahami. 

Materi Prasyarat

Materi prasyarat untuk dapat mengerjakan soal "banyak cara menyusun huruf-huruf pada suatu kata dengan syarat ada huruf tertentu yang tidak boleh berdekatan" diantaranya, anda perlu memahami konsep permutasi dan kombinasi termasuk permutasi unsur yang sama. Jadi, pada tulisan ini saya tidak akan membahas dulu apa itu kombinasi dan permutasi, dan aturan permutasi unsur yang sama, namun akan langsung to the point ke permasalahan sesuai judul. 

Soal dan Pembahasan

Baiklah, kita langsung aja ke soal dan pembahasan. Soal-soal yang saya bahas berikut ini saya ambil dari soal-soal UP PPG / UTN (Ujian Tulis Nasional) yang pernah diujikan.

---

Soal 1 (UTN 2016)

Banyaknya cara menyusun kata BELERANG dengan syarat 2 huruf vokal tidak boleh berdekatan adalah ....

A. 7.200

B. 2.400

C. 960

D. 720

Pembahasan:

Salah satu alternatif termudah menyusun kata BELERANG dengan tidak ada huruf vokal berdekatan adalah dengan "mensisipkan" huruf-huruf vokal diantara huruf konsonan selain itu vokal juga bisa kita simpan diawal dan/atau diakhir kata. Pada kata BELERANG terdapat 3 huruf vokal yaitu E, E, A dan 5 huruf konsonan yaitu B, L, R, N, G. Posisi penempatan huruf vokal dan konsonan yang mungkin dapat anda lihat pada gambar di bawah ini:

5 buah kotak adalah tempat dimana kita akan "menyimpan" huruf konsonan, dan "ruang kosong" diantara kotak-kotak tersebut adalah tempat kita akan "menyimpan" huruf-huruf vokal. Banyaknya "ruang kosong" sama dengan banyak huruf konsonan ditambah 1. Sampai sini apakah cukup jelas?

Berikutnya, 3 hal yang perlu kita perhitungkan. Yaitu, "Berapa banyak cara kita menempatkan vokal?", "Berapa Banyak cara menyusun huruf vokal?" dan "Berapa banyak cara menyusun huruf konsonan?". Jika anda sudah dapat menjawab 3 pertanyaan di atas, maka dengan menggunakan aturan perkalian kita dapat memperoleh jawaban soal diatas. Baik, mari kita coba jawab soal tersebut:

1) Banyak cara menempatkan 3 huruf vokal pada 6 tempat (ruang kosong) yang tersedia adalah: $\displaystyle C_{3}^6$ cara. Logikanya sama dengan "mengambil 3 tempat dari 6 tempat yang tersedia"

2) Banyak cara menusun huruf-huruf vokal E, E, A adalah: $\displaystyle \frac{3!}{2!}$ (permutasi unsur  yang sama)

3) Banyak cara menyusun huruf-huruf konsonan B, L, R, N, G adalah: $5!$

Jadi, banyak cara menyusun kata BELERANG tanpa ada dua huruf vokal berdekatan adalah:

$\begin{align*}C_{3}^{6}.\frac{3!}{2!}.5!&=\frac{6.5.4.3!}{3!.3!}.\frac{3!}{2!}.5!\\&=60. 5!\\&=7200\end{align*}$

Jadi, terdapat sebanyak 7.200 cara

Untuk lebih jelas video pembahasan masalah banyak cara menyusun huruf-huruf pada suatu kata dengan syarat huruf tertentu tidak berdekatan dapat anda lihat di channel youtube m4thlab, atau klik di sini

---

Soal 2 (UTN 2016)

Cara menyusun huruf TERCEPAT sehingga tidak ada dua huruf vokal berdekatan ada sebanyak ....

A. 7.200

B. 3.600

C. 1.800

D. 1.200

Pembahasan:

Huruf-huruf vokal: E, E, A

Banyak huruf vokal: 3

Huruf-huruf konsonan:  T, R, C, P, T

Banyak huruf konsonan: 5

Banyak ruang kosong untuk kita menyimpan vokal adalah banyak konsonan ditambah 1 yaitu $5+1=6$ tempat

1) banyak cara menempatkan vokal: $\displaystyle C_{3}^{6}$ cara

2) Banyak cara menyusun huruf vokal E, E, A adalah: $\displaystyle\frac{3!}{2!}$ (terdapat dua huruf yang sama)

3) Banyak cara menyusun huruf konsonan T, R, C, P, T adalah; $\displaystyle \frac{5!}{2!}$ (terdapat dua huruf yang sama)

Banyak cara menyusun huruf-huruf pada kata TERCEPAT tanpa ada dua huruf vokal berdekatan adalah:

$\begin{align*}C_{3}^{6}.\frac{3!}{2!}.\frac{5!}{2!}&=\frac{6.5.4.3!}{3!.3!}.\frac{3!}{2!}.\frac{5!}{2!}\\&=30.5!\\&=3.600\end{align*}$

---

Soal 3

Cara menyusun huruf-huruf JAKARTA dengan tanpa ada dua huruf A yang berdekatan ada sebanyak ....

A. 120

B. 150

C. 180

D. 240

E. 270

Pembahasan:

Banyak huruf A ada 3

Banyak huruf selain A  yaitu J, K, R, T  ada 4

Banyak "ruang kosong" untuk menyimpan A ada  $4+1=5$ tempat

1) Banyak cara menempatkan 3 huruf A pada 5 tempat tersedia adalah $C_{3}^{5}$ cara

2) Banyak cara menyusun 3 huruf A adalah $\displaystyle\frac{3!}{3!}=1$ cara

3) Banyak cara menyusun huruf selain A yaitu huruf J, K, R, T adalah $4!$ cara

Banyak cara menyusun huruf JAKARTA tanpa ada dua huruf A berdekatan adalah:

$\begin{align*}C_3^5.1.4!&=\frac{5.4.3!}{3!.2!}.1.4!\\&=10.4!\\&=240\end{align*}$

Jadi, terdapat 240 cara

---

Soal 4 (UP 2019 tahap 2)

Cara menyusun huruf-huruf PENCACAHAN dengan tanpa ada dua huruf vokal yang berdekatan ada sebanyak ....

A. $6(7!)$

B. $35(6!)$

C. $28(7!)$

D. $28(5!)$

E. $42(6!)$

Pembahasan:

Huruf-huruf vokal: E, A, A, A

Banyak huruf vokal: 4

Huruf konsonan: P, N, C, C, H, N

Banyak huruf konsonan: 6

Banyak "ruang kosong" tenpat menyimpan huruf vokal adalah $6+1=7$ tempat

1) Banyak cara menempatkan vokal adalah $\displaystyle C_4^7$ cara

2) Banyak cara menyusun huruf-huruf vokal E, A, A, A adalah $\displaystyle \frac{4!}{3!}$ cara

3) Banyak cara menyusun huruf-huruf konsonan P, N, C, C, H, N  adalah $\displaystyle\frac{6!}{2!.2!}$ cara

Banyak cara menyusun huruf-huruf PENCACAHAN  tanpa ada dua vokal berdekatan adalah:

$\begin{align*}C_4^7.\frac{4!}{3!}.\frac{6!}{2!.2!}&=\frac{7.6.5.4!}{4!.3!}.4.\frac{6!}{4}\\&=35(6!)\end{align*}$

Jadi, terdapat $35(6!)$ cara

---

Soal 5 (UP 2018)

Cara menyusun huruf-huruf ARITMETIKA dengan dua huruf vokal tidak berdekatan ada sebanyak ....

A. $36(7!)$

B. $35(6!)$

C. $18(6!)$

D. $28(5!)$

E. $30(7!)$

Pembahasan:

Huruf-huruf vokal: A, A, I, I, E

Banyak huruf vokal: 5

Huruf-huruf konsonan: R, T, T, M, K

Banyak huruf konsonan: 5

Tempat (ruang kosong) untuk menyimpan huruf vokal: $5+1=6$ tempat

Banyak cara menyusun huruf-huruf ARITMETIKA dengan tidak ada dua huruf vokal berdekatan adalah:

$\begin{align*}C_5^6.\frac{5!}{2!.2!}.\frac{5!}{2!}&=\frac{6!}{5!.1!}.\frac{5!}{2!.2!}.\frac{5!}{2!}\\&=15(6!)\end{align*}$

Jadi, banyak cara menyusun huruf-huruf ARITMETIKA dengan tidak ada dua huruf vokal berdekatan adalah $15(6!)$ (Tidak ada pada opsi jawaban)

Soal Latihan:

Jika anda sudah paham dengan beberapa contoh di atas, silakan anda coba soal berikut sebagai soal latihan, jawaban boleh anda tulis pada kolom komentar

Berapkah banyak cara menyusun huruf-huruf pada kata MATHEMATICS dengan tanpa ada 2 huruf vokal berdekatan?

Demikianlah penjelasan mengenai cara menentukan banyak cara menyusun huruf pada suatu kata dengan syarat huruf tertentu tidak berdekatan.