Trik Menyelesaikan Limit Tak Hingga Akar Pangkat 3

Kesempatan kali ini saya akan membahas bagaimana cara menyelesaikan persmalahan limit mendekati tak hingga yang saat ini dipelajari di kelas XII pada mata pelajaran matematika peminatan (untuk kurikulum 2013 revisi). Namun yang akan kita bahas, saya khususkan membahas bagaimana cara menyelesaikan limit tak hingga bentuk $\infty-\infty$ yang melibatkan akar pangkat 3.

Alasan kenapa saya menulis masalah ini, karena kebetulan hari ini pada salah satu grup diskusi matematika yang saya ikuti, ada salah satu pertanyaan yang menanyakan masalah terkait limit tak hingga akar pangkat 3, jadi rasanya perlu untuk saya bahas.

Bentuk limit  tak hingga akar pangkat 3 yang akan kita bahas yaitu yang bentuknya sebagai berikut:
$$\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt[3]{ax^3+bx^2+cx+d}-\sqrt[3]{ax^3+px^2+qx+r}\right)$$

Jika kita substitusi akan diperoleh $\infty-\infty$ (bentuk tak tentu). Tentu saja penyelesaiannya bukan itu.

Kita tidak bisa menghilangkan bentuk akar dengan cara kali sekawan seperti halnya akar pangkat 2. Namun, kita dapat memanfaatkan bentuk aljabar berikut menghilangkan bentuk akar pangkat 3:
$$(m^3-n^3)(m^2+mn+n^3)$$
Menemukan Cara Cepat Menyelesaikan Limit Tak hingga Akar Pangkat Tiga

Mari kita kembali ke bentuk umum permasalah yang akan kita selesaikan yaitu:
$$\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt[3]{ax^3+bx^2+cx+d}-\sqrt[3]{ax^3+px^2+qx+r}\right)$$
Untuk menghemat penulisan, saya akan gunakan pemisalan sebagai berikut:
$\displaystyle m={\sqrt[3]{ax^3+bx^2+cx+d}}$
$\displaystyle n={\sqrt[3]{ax^3+px^2+qx+r}}$

maka:
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt[3]{ax^3+bx^2+cx+d}-\sqrt[3]{ax^3+px^2+qx+r}\right)=\lim_{x\to\infty}(m-n)$

Kita kalikan dengan $\displaystyle\frac{m^2+mn+n^2}{m^2+mn+n^2}$, maka kita peroleh:

$\begin{align*}\lim_{x\to\infty}(m-n)\times\frac{m^2+mn+n^2}{m^2+mn+n^2}&=\lim_{x\to\infty}{\frac{(m-n)(m^2+mn+n^2)}{m^2+mn+n^2}}\\&=\lim_{x\to\infty}{\frac{m^3-n^3}{m^2+mn+n^2}}\end{align*}$

sekarang, kita substitusikan kembali $\displaystyle m={\sqrt[3]{ax^3+bx^2+cx+d}}$ dan $\displaystyle n={\sqrt[3]{ax^3+px^2+qx+r}}$ ke bentuk limit terakhir yang kita peroleh:

Karena kita berada dalam konteks limit mendekati tak hingga, maka yang akan kita ambil derajat tertinggi dari penyebut dan pembilang, sehingga kita peroleh:

$\begin{align*}\lim_{x\to\infty}\frac{(b-p)x^2}{(\sqrt[3]{ax^3})^2+(\sqrt[3]{ax^3})(\sqrt[3]{ax^3})+(\sqrt[3]{ax^3})^2}&=\lim_{x\to\infty}{\frac{(b-p)x^2}{(\sqrt[3]{ax^3})^2+(\sqrt[3]{ax^3})^2+(\sqrt[3]{ax^3})^2}}\\&=\lim_{x\to\infty}{\frac{(b-p)x^2}{3(\sqrt[3]{ax^3})^2}}\\&=\lim_{x\to\infty}{\frac{(b-p)x^2}{3\sqrt[3]{a^2}x^2}}\\&=\frac{b-p}{3\sqrt[3]{a^2}}\end{align*}$

Dari sederet langkah yang kita lakukan di atas, kita peroleh kesimpulan:
$$\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt[3]{ax^3+bx^2+cx+d}-\sqrt[3]{ax^3+px^2+qx+r}\right)=\frac{b-p}{3\sqrt[3]{a^2}}$$

Agar mengetahui bagaimana penerapan formula di atas untuk menyelesaikan permasalahan limit tak hingga akar pangkat 3, perhatikan beberapa contoh soal dan pembahasan berikut ini:

Baca: Download bank soal limit tak hingga pdf 

Contoh 1
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}{\left(\sqrt[3]{x^3+12x^2+4x-1}-\sqrt[3]{x^3-6x^2+2x+10}\right)}=$ ....

 Pembahasan:

$\begin{align*}\lim_{x\to\infty}{\left(\sqrt[3]{x^3+12x^2+4x-1}-\sqrt[3]{x^3-6x^2+2x+10}\right)}&=\frac{12-(-6)}{3\sqrt[3]{1^2}}\\&=\frac{12+6}{3}\\&=\frac{18}{3}\\&=6\end{align*}$
 Contoh 2
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}{\left(\sqrt[3]{8x^3+12x^2}-(2x+2)\right)}=$ ....

 Pembahasan:

$\begin{align*}\lim_{x\to\infty}\left ( \sqrt[3]{8x^3+12x^2}-(2x+2)] \right )&=\lim_{x\to\infty}\left ( \sqrt[3]{8x^3+12x^2} -\sqrt[3]{(2x+2)^3}\right )\\&=\lim_{x\to\infty}\left ( \sqrt[3]{8x^3+12x^2} -\sqrt[3]{8x^3-24x^2+24x-8}\right )\\&=\frac{2-(-24)}{3.\sqrt[3]{8^2}}\\&=\frac{36}{12}\\&=3\end{align*}$

Demikianlah pembahasan terkait materi limit tak hingga akar pangkat 3. Semoga bermanfaat