Persamaan Eksponensial (Matematika Peminatan Kelas X Kurikulum 2013 Revisi)


Pada kesempatan kali ini kita akan belajar tentang persamaan eksponensial, namun dikarenakan saya cenderung akan membahasnya secara aljabar, maka sebelumnya mari kita ingat-ingat lagi rumus-rumus perpangkatan yang telah dipelajari ketika SMP/MTs sebagai berikut:
Misalkan $a\in R$, $b\in R$, $m$ dan $n$ bilangan bulat positif, berlaku sifat-sifat sebagai berikut:


  1. $a^m\times a^n=a^{m+n}$
  2. $a^m:a^n=a^{m-n}$
  3. $(a^m)^n=a^{m\times n}$
  4. $(ab)^m=a^mb^m$
  5. $a^0=1$
  6. $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
  7. $\sqrt[m]{a^n}=a^{\frac{n}{m}}$


Berikui ini beberapa bentuk persamaan eksponensial:


Persamaan eksponensial berbentuk $a^{f(x)}=a^p$

untuk menyelesaikan persamaan eksponensial berbentuk $a^{f(x)}=a^p$, $a > 0$ dan $a \ne 1$ kita gunakan sifat berikut:
$$\large\boxed{a^{f(x)}=a^p\Leftrightarrow f(x)=p}$$

Contoh 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan : $2^{3x+1}=16$

Jawab:

$\begin{align*}2^{3x+1}&=16\\2^{3x+1}&=2^4\\ \Leftrightarrow 3x+1&=4\\3x&=3\\x&=1\end{align*}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left\{ 1\right\}$

Contoh 2

Tentukan himpunan penyelesaian dari: $\sqrt[3]{3^{x-7}}=\frac{1}{9}$

Jawab:

$\begin{align*}\sqrt[3]{3^{x-7}}&=\frac{1}{9}\\3^{\frac{x-7}{3}}&=3^{-2}\\ \Leftrightarrow \frac{x-7}{3}&=-2\\x-7&=-6\\x&=7-6\\x&=1\end{align*}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left\{ 1\right\}$

Persamaan eksponensial berbentuk $a^{f(x)}=a^{g(x)}$

persamaan berbentuk $a^{f(x)}=a^{g(x)}$, $a > 0$ dan $a\ne 1$ dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat berikut:$$\large\boxed{a^{f(x)}=a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)=g(x)}$$

Contoh 3:

Tentukan penyelesaian persamaan eksponensial $2^{x^2+3x+4}=4^{-x-1}$

Jawab:

$\begin{align*}2^{x^2+3x+4}&=4^{-x-1}\\2^{x^2+3x+4}&=(2^2)^{-x-1}\\2^{x^2+3x+4}&=2^{-2x-2}\\ \Leftrightarrow x^2+3x+4&=-2x-2\\x^2+5x+6&=0\\(x+2)(x+3)&=0\end{align*}$
$x+2=0$ atau $x+3=0$
$x=-2$ atau $x=-3$
Jadi, penyelesaiannya adalah $x=-2$ atau $x=-3$

Persamaan Eksponensial Berbentuk $\left(a.p^{f(x)}\right)^2+b.\left(p^{f(x)}\right)+c=0$

Untuk menyelesaikan bentuk persamaan ini salah satu caranya dengan menggunakan pemisalan $p^{f(x)}=q$ sehingga diperoleh bentuk persamaan kuadrat $aq^2+bq+c=0$. setelah nilai $q$ diperoleh, langkah selanjutnya substitusikan kembali pada pemisalan $q=p^{f(x)}$ sehingga diperoleh nilai $x$

Contoh 4:

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan $3^{2x}-4\times 3^x=-3$

Jawab:

$\begin{align*}3^{2x}-4(3^x)&=-3\\3^{2x}-4(3^x)+3&=0\\(3^x)^2-4(3^x)+3&=0\end{align*}$
Misalkan $3^x=q$, maka diperoleh :
$\begin{align*}q^2-4q+3&=0\\(q-3)(q-1)&=0\end{align*}$
$\Leftrightarrow q-3=0$ atau $q-1=0$
$q=3$ atau $q=1$

untuk $q=3$:


$\begin{align*}&\Leftrightarrow 3^x=3\\&\Leftrightarrow3^x=3^1\\&\Leftrightarrow x=1\end{align*}$

untuk $q=1$:


$\begin{align*}&\Leftrightarrow 3^x=1\\&\Leftrightarrow3^x=3^0\\&\Leftrightarrow x=0\end{align*}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya $\left\{0,1\right\}$

Persamaan eksponensial bentuk $h(x)^{f(x)}=h(x)^{g(x)}$

persamaan eksponensial bentuk $h(x)^{f(x)}=h(x)^{g(x)}$ terdefinisi jika dan hanya jika memenuhi 4 syarat berikut:


  1. $f(x)=g(x)$
  2. $h(x)=1$
  3. $h(x)=0\Leftrightarrow f(x) >0$ dan $g(x) >0$
  4. $h(x)=-1\Leftrightarrow (-1)^{f(x)}=(-1)^{g(x)}$

Contoh 5:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $(x-7)^{x^2-2}=(x-7)^x$

Jawab:
$(x-7)^{x^2-2}=(x-7)^x$
misalkan, $h(x)=x-7$, $f(x)=x^2-2$ dan $g(x)=x$

Kemungkinan 1:
$\begin{align*}f(x)&=g(x)\\x^2-2&=x\\x^2-x-2&=0\\(x-2)(x+1)&=0\end{align*}$
$x_1=2$ atau $x_2=-1$

Kemungkinan 2:
$\begin{align*}h(x)&=1\\x-7&=1\\x&=8\end{align*}$

Kemungkinan 3:
$h(x)=0 \Leftrightarrow f(x) > 0$ dan $g(x) >0$
$x-7=0\rightarrow x=7$

Selidiki nilai $f(7)$ dan $g(7)$:
$f(7)=7^2-2=49-2=47 > 0$
$g(7)=7 > 0$
Karena $f(7) > 0$ dan $g(7) > 0$ maka $x=7$ memenuhi penyelesaian

Kemungkinan 4:
$h(x)=-1 \Leftrightarrow (-1)^{f(x)}=(-1)^{g(x)}$
$x-7=-1 \rightarrow x=6$
Selidiki  $f(6)$ dan $g(6)$
$f(6)=6^2-2=36-2=34$ (Genap)
$g(6)=6$ (genap)
sehingga:
$(-1)^{36}=(-1)^6$
dengan demikian $x=6$ memenuhi penyelesaian

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left\{ -1, 2,6,7,8\right\}$

Persamaan eksponensial berbentuk $f(x)^{h(x)}=g(x)^{h(x)}$
Persamaan eksponensial bentuk $f(x)^{h(x)}=g(x)^{h(x)}$ terdefinisi jika dan hanya jika memenuhi dua konsdisi sebagai berikut:
  1. $f(x)=g(x)$
  2. $h(x)=0\Leftrightarrow f(x)\ne 0, g(x)\ne 0$

Contoh 6:
Tentukan himpunan penyelesaian dari : $(x+2)^{x+1}=(2x+6)^{x+1}$

Jawab:
$f(x)=x+2$
$g(x)=2x+6$
$h(x)=x+1$

Kemungkinan 1:
$\begin{align*}f(x)&=g(x)\\x+2&=2x+6\\-x&=4\\x&=-4\end{align*}$

Kemungkinan 2:
$\begin{align*}h(x)&=0\\x+1&=0\\x&=-1\end{align*}$

Substitusikan $x=-1$ ke $f(x)$ dan $g(x)$:
$f(-1)=-1+2=1\ne 0$
$g(-1)=2(-1)+6=4\ne 0$
karena $f(-1)\ne 0$ dan $g(-1)\ne 0$ maka $x=-1$ memenuhi penyelesaian.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left\{-4, -1\right\}$

$\blacksquare$ Denih Handayani, 2017

Sumber:
BK. Noormandiri. Matematika Kelompok Peminatan Kelas X. Erlangga. 2016
Miyanto dkk. Matematika Peminatan Kelas X Semester 1.Intan Pariwara.2016 



Siapa saya? Tidak ada hal istimewa tentang saya. Seseorang yang masih haus ilmu, namun ingin memberi manfaat untuk banyak orang.

Artikel Terkait

Previous
Next Post »

7 komentar

Write komentar
BenEasyIT
AUTHOR
20 July 2017 at 23:23 delete This comment has been removed by the author.
avatar
BenEasyIT
AUTHOR
20 July 2017 at 23:24 delete

Bisa komentar pakai $\LaTeX$ ga ya? Test deh.

Reply
avatar
BenEasyIT
AUTHOR
20 July 2017 at 23:26 delete

Mohon juga memuat materi bentuk
$a^{f(x)} = b^{g(x)}$

Reply
avatar
Alkawarizmi
AUTHOR
21 July 2017 at 08:22 delete This comment has been removed by the author.
avatar
Alkawarizmi
AUTHOR
21 July 2017 at 14:08 delete

siap mas Bro, nanti saya tambahkan, makasih banyak masukannya.
hihi saya sendiri baru tau, ternyata komentar mendukung $LATEX$ juga

Reply
avatar
Unknown
AUTHOR
2 October 2018 at 20:28 delete

Terima kasih,angat membantu dan mudah dipahami

Reply
avatar
TRI
AUTHOR
20 August 2020 at 21:42 delete

Bro maaf bukannya usil, ane malah mau kasih tau tuh iklan yg mgid ada iklan konten dewasanya bro, hati hati blognya dilaporin nanti, mending diubah personalisasi iklannya di mgid, soalnya konten masbro ini bermanfaat banget sayang nanti kalo ada orang tua yg ngelaporin. Salam kenal dan sukses selalu

Reply
avatar

Kritik, saran atau koreksi silahkan isi kolom komentar EmoticonEmoticon