Skip to content Skip to sidebar Skip to footer

Persamaan Eksponensial (Matematika Peminatan Kelas X Kurikulum 2013 Revisi)


Pada kesempatan kali ini kita akan belajar tentang persamaan eksponensial, namun dikarenakan saya cenderung akan membahasnya secara aljabar, maka sebelumnya mari kita ingat-ingat lagi rumus-rumus perpangkatan yang telah dipelajari ketika SMP/MTs sebagai berikut:
Misalkan $a\in R$, $b\in R$, $m$ dan $n$ bilangan bulat positif, berlaku sifat-sifat sebagai berikut:


  1. $a^m\times a^n=a^{m+n}$
  2. $a^m:a^n=a^{m-n}$
  3. $(a^m)^n=a^{m\times n}$
  4. $(ab)^m=a^mb^m$
  5. $a^0=1$
  6. $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
  7. $\sqrt[m]{a^n}=a^{\frac{n}{m}}$


Berikui ini beberapa bentuk persamaan eksponensial:


Persamaan eksponensial berbentuk $a^{f(x)}=a^p$

untuk menyelesaikan persamaan eksponensial berbentuk $a^{f(x)}=a^p$, $a > 0$ dan $a \ne 1$ kita gunakan sifat berikut:
$$\large\boxed{a^{f(x)}=a^p\Leftrightarrow f(x)=p}$$

Contoh 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan : $2^{3x+1}=16$

Jawab:

$\begin{align*}2^{3x+1}&=16\\2^{3x+1}&=2^4\\ \Leftrightarrow 3x+1&=4\\3x&=3\\x&=1\end{align*}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left\{ 1\right\}$

Contoh 2

Tentukan himpunan penyelesaian dari: $\sqrt[3]{3^{x-7}}=\frac{1}{9}$

Jawab:

$\begin{align*}\sqrt[3]{3^{x-7}}&=\frac{1}{9}\\3^{\frac{x-7}{3}}&=3^{-2}\\ \Leftrightarrow \frac{x-7}{3}&=-2\\x-7&=-6\\x&=7-6\\x&=1\end{align*}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left\{ 1\right\}$

Persamaan eksponensial berbentuk $a^{f(x)}=a^{g(x)}$

persamaan berbentuk $a^{f(x)}=a^{g(x)}$, $a > 0$ dan $a\ne 1$ dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat berikut:$$\large\boxed{a^{f(x)}=a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)=g(x)}$$

Contoh 3:

Tentukan penyelesaian persamaan eksponensial $2^{x^2+3x+4}=4^{-x-1}$

Jawab:

$\begin{align*}2^{x^2+3x+4}&=4^{-x-1}\\2^{x^2+3x+4}&=(2^2)^{-x-1}\\2^{x^2+3x+4}&=2^{-2x-2}\\ \Leftrightarrow x^2+3x+4&=-2x-2\\x^2+5x+6&=0\\(x+2)(x+3)&=0\end{align*}$
$x+2=0$ atau $x+3=0$
$x=-2$ atau $x=-3$
Jadi, penyelesaiannya adalah $x=-2$ atau $x=-3$

Persamaan Eksponensial Berbentuk $\left(a.p^{f(x)}\right)^2+b.\left(p^{f(x)}\right)+c=0$

Untuk menyelesaikan bentuk persamaan ini salah satu caranya dengan menggunakan pemisalan $p^{f(x)}=q$ sehingga diperoleh bentuk persamaan kuadrat $aq^2+bq+c=0$. setelah nilai $q$ diperoleh, langkah selanjutnya substitusikan kembali pada pemisalan $q=p^{f(x)}$ sehingga diperoleh nilai $x$

Contoh 4:

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan $3^{2x}-4\times 3^x=-3$

Jawab:

$\begin{align*}3^{2x}-4(3^x)&=-3\\3^{2x}-4(3^x)+3&=0\\(3^x)^2-4(3^x)+3&=0\end{align*}$
Misalkan $3^x=q$, maka diperoleh :
$\begin{align*}q^2-4q+3&=0\\(q-3)(q-1)&=0\end{align*}$
$\Leftrightarrow q-3=0$ atau $q-1=0$
$q=3$ atau $q=1$

untuk $q=3$:


$\begin{align*}&\Leftrightarrow 3^x=3\\&\Leftrightarrow3^x=3^1\\&\Leftrightarrow x=1\end{align*}$

untuk $q=1$:


$\begin{align*}&\Leftrightarrow 3^x=1\\&\Leftrightarrow3^x=3^0\\&\Leftrightarrow x=0\end{align*}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya $\left\{0,1\right\}$

Persamaan eksponensial bentuk $h(x)^{f(x)}=h(x)^{g(x)}$

persamaan eksponensial bentuk $h(x)^{f(x)}=h(x)^{g(x)}$ terdefinisi jika dan hanya jika memenuhi 4 syarat berikut:


  1. $f(x)=g(x)$
  2. $h(x)=1$
  3. $h(x)=0\Leftrightarrow f(x) >0$ dan $g(x) >0$
  4. $h(x)=-1\Leftrightarrow (-1)^{f(x)}=(-1)^{g(x)}$

Contoh 5:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $(x-7)^{x^2-2}=(x-7)^x$

Jawab:
$(x-7)^{x^2-2}=(x-7)^x$
misalkan, $h(x)=x-7$, $f(x)=x^2-2$ dan $g(x)=x$

Kemungkinan 1:
$\begin{align*}f(x)&=g(x)\\x^2-2&=x\\x^2-x-2&=0\\(x-2)(x+1)&=0\end{align*}$
$x_1=2$ atau $x_2=-1$

Kemungkinan 2:
$\begin{align*}h(x)&=1\\x-7&=1\\x&=8\end{align*}$

Kemungkinan 3:
$h(x)=0 \Leftrightarrow f(x) > 0$ dan $g(x) >0$
$x-7=0\rightarrow x=7$

Selidiki nilai $f(7)$ dan $g(7)$:
$f(7)=7^2-2=49-2=47 > 0$
$g(7)=7 > 0$
Karena $f(7) > 0$ dan $g(7) > 0$ maka $x=7$ memenuhi penyelesaian

Kemungkinan 4:
$h(x)=-1 \Leftrightarrow (-1)^{f(x)}=(-1)^{g(x)}$
$x-7=-1 \rightarrow x=6$
Selidiki  $f(6)$ dan $g(6)$
$f(6)=6^2-2=36-2=34$ (Genap)
$g(6)=6$ (genap)
sehingga:
$(-1)^{36}=(-1)^6$
dengan demikian $x=6$ memenuhi penyelesaian

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left\{ -1, 2,6,7,8\right\}$

Persamaan eksponensial berbentuk $f(x)^{h(x)}=g(x)^{h(x)}$
Persamaan eksponensial bentuk $f(x)^{h(x)}=g(x)^{h(x)}$ terdefinisi jika dan hanya jika memenuhi dua konsdisi sebagai berikut:
  1. $f(x)=g(x)$
  2. $h(x)=0\Leftrightarrow f(x)\ne 0, g(x)\ne 0$

Contoh 6:
Tentukan himpunan penyelesaian dari : $(x+2)^{x+1}=(2x+6)^{x+1}$

Jawab:
$f(x)=x+2$
$g(x)=2x+6$
$h(x)=x+1$

Kemungkinan 1:
$\begin{align*}f(x)&=g(x)\\x+2&=2x+6\\-x&=4\\x&=-4\end{align*}$

Kemungkinan 2:
$\begin{align*}h(x)&=0\\x+1&=0\\x&=-1\end{align*}$

Substitusikan $x=-1$ ke $f(x)$ dan $g(x)$:
$f(-1)=-1+2=1\ne 0$
$g(-1)=2(-1)+6=4\ne 0$
karena $f(-1)\ne 0$ dan $g(-1)\ne 0$ maka $x=-1$ memenuhi penyelesaian.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left\{-4, -1\right\}$

$\blacksquare$ Denih Handayani, 2017

Sumber:
BK. Noormandiri. Matematika Kelompok Peminatan Kelas X. Erlangga. 2016
Miyanto dkk. Matematika Peminatan Kelas X Semester 1.Intan Pariwara.2016 



7 comments for "Persamaan Eksponensial (Matematika Peminatan Kelas X Kurikulum 2013 Revisi)"

  1. This comment has been removed by the author.

    ReplyDelete
  2. Bisa komentar pakai $\LaTeX$ ga ya? Test deh.

    ReplyDelete
  3. Mohon juga memuat materi bentuk
    $a^{f(x)} = b^{g(x)}$

    ReplyDelete
  4. This comment has been removed by the author.

    ReplyDelete
  5. siap mas Bro, nanti saya tambahkan, makasih banyak masukannya.
    hihi saya sendiri baru tau, ternyata komentar mendukung $LATEX$ juga

    ReplyDelete
  6. Terima kasih,angat membantu dan mudah dipahami

    ReplyDelete
  7. Bro maaf bukannya usil, ane malah mau kasih tau tuh iklan yg mgid ada iklan konten dewasanya bro, hati hati blognya dilaporin nanti, mending diubah personalisasi iklannya di mgid, soalnya konten masbro ini bermanfaat banget sayang nanti kalo ada orang tua yg ngelaporin. Salam kenal dan sukses selalu

    ReplyDelete