Loading...

Integral Tak Tentu - Matematika Wajib Kelas XI

Add Comment



Pada kurikulum 2013 revisi, materi integral dipelajari di kelas XI pada matematika wajib.
Dalam kalkulus, ada dua konsep dasar integral yang dipelajari, yaitu integral tak tentu (indefinite integral) dan integral tentu (definite integral).

Konsep integral tak tentu merupakan kebalikan atau invers dari turunan atau diferensial, oleh karena itu integral disebut juga sebagai anti turunan. Dengan kata lain, integral tak tentu atau anti diferensial merupakan cara untuk menemukan fungsi asal dari suatu fungsi yang sudah diturunkan.

Untuk lebih jelasnya perhatikan penjelasan mengenai integral berikut ini  dilengkapi dengan contoh soal dan pembahasan.

Integral Tak Tentu

Seperti yang sudah disebutkan di atas, integral merupakan kebalikan dari turunan. Sebagai contoh, perhatikan ilustrasi berikut:

Misal ada soal seperti ini, Tentukan turunan dari $\displaystyle f(x)=4x^3+2x^2-5x+3$  berdasarkan konsep turunan yang pernah kita pelajari maka kita bisa menjawab bahwa turunan dari $\displaystyle f(x)=4x^3+2x^2-5x+3$ adalah $\displaystyle f'(x)=12x^2+4x-5$.

Tapi bagaimana jika pertanyaanya adalah, tentukan fungsi $f(x)$ jika diketahui turunan dari $f(x)$ adalah $f'(x)=12x^2+4x-5$. Untuk menjawab pertanyaan tersebut kita butuh konsep antiturunan atau integral.

Jika $F'(x)=f(x)$, maka $\displaystyle\int f(x)=F(x)+C$ dengan $C$ suatu konstanta dan $C\in$ bilangan real.

  Rumus Dasar Integral

Untuk setiap bilangan real $n\ne -1$, maka: $$\int x^n dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$$
Kebenaran rumus ini dapat dengan mudah kita buktikan dengan menurunkan fungsi pada ruas kanan sebagai berikut:

$\displaystyle\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{n+1}x^{x+1}+C\right)=\frac{n+1}{n+1}x^{(n+1)-1}+0=x^n$

  Rumus perkalian skalar
$$\int k f(x) dx=k\int f(x) dx $$ untuk setiap $k$ bilangan real

Perhatikan beberapa contoh soal dan pembahasan berikut ini:

  Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Integral
$$\int\left(f(x)\pm g(x)\right)dx=\int f(x)dx\pm\int g(x) dx$$

Contoh 1

$\displaystyle \int x^4 dx=$ ....

  Jawab:
Dalam integral di atas, $n=4$. Dengan menggunkan Rumus Dasar Integral, maka kita peroleh

$\begin{align*}\int x^4 dx&=\frac{1}{4+1}x^{4+1}+C\\&=\frac{1}{5}x^5+C\end{align*}$

  Contoh 2

$\displaystyle\int \frac{1}{x^3} dx=$ ....

  Jawab:
$\displaystyle \frac{1}{x^3}$ dapat dinyatakan sebagai $x^{-3}$, maka:

$\begin{align*}\int\frac{1}{x^3} dx&=\int x^{-3} dx\\&=\frac{1}{-3+1}x^{-3+1}+C\\&=-\frac{1}{2}x^{-2}+C\\&=-\frac{1}{2x^2}+C\end{align*}$

  Contoh 3

$\displaystyle\int \sqrt[3]{x^2}=$ ....

 Jawab:

$\displaystyle\sqrt[3]{x^2}$ dapat dinyatakan sebagai $\displaystyle x^{\frac{2}{3}}$, maka:

$\begin{align*}\int \sqrt[3]{x^2} dx&=\int{x^{\frac{2}{3}}}dx\\&=\frac{1}{\frac{2}{3}+1}x^{\frac{2}{3}+1}+C\\&=\frac{1}{\frac{5}{3}}x^{\frac{5}{3}}+C\\&=\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}+C\\&=\frac{3}{5}x\sqrt[3]{x^2}+C\end{align*}$

Baca juga : Download Soal Integral Tak Tentu pdf 

  Contoh 4

$\displaystyle\int {4x^3} dx=$ ....

  Jawab:

$\begin{align*}\int{4x^3}dx&=4\int{x^3}dx\\&=4.\frac{1}{3+1}x^{3+1}+C\\&=\frac{4}{4}x^4+C\\&=x^4+C\end{align*}$

  Contoh 5

$\displaystyle\int \left(3x^2-4x+5\right)=$ ....

  Jawab:

$\begin{align*}\int{\left(3x^2-4x+5\right)dx}&=3\int x^2 dx-4\int x dx+5\int dx\\&=3\left(\frac{1}{3}x^3\right)-4\left(\frac{1}{2}x^2\right)+5x+C\\&=x^3-2x^2+5x+C\end{align*}$

  Contoh 6

$\displaystyle\int \left(x^2-3\right)^2 dx=$ ....

  Jawab:

$\begin{align*}\int{\left(x^2-3\right)^2} dx&=\int\left(x^4-6x^2+9\right)dx\\&=\int x^4 dx-6\int x^2 dx+9\int dx\\&=\frac{1}{5}x^5-6\left(\frac{1}{3}x^3\right)+9x+C\\&=\frac{1}{5}x^5-2x^3+9x+C\end{align*}$

  Contoh 7

$\displaystyle\int\left(\frac{x^2+1}{\sqrt{x}}\right)dx=$ ....

  Jawab:

$\begin{align*}\int\left(\frac{x^2+1}{\sqrt{x}}\right)dx&=\int\left(\frac{x^2}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx\\&=\int\left(\frac{x^2}{x^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}\right)dx\\&=\int\left(x^{\frac{3}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}\right)dx\\&=\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+2x^{\frac{1}{2}}+C\\&=\frac{2}{5}x^2\sqrt{x}+2\sqrt{x}+C\end{align*}$

Demikianlah contoh soal dan pembahasan integral tak tentu.
Tunggu pembahasan integral selanjutnya di blog ini



Perbedaan Tak Terdefinisi, Tak Hingga dan Tak Tentu [masalah pembagian dengan 0]

Add Comment



Dalam matematika banyak sekali istilah yang perlu kita pahami. Salah satu masalah yang muncul, ketika kita menemukan kasus pembagian suatu bilangan dengan nol, seperti beberapa pertanyaan berikut yang mungkin anda sendiri pernah mempertanyakannya, "Apakah  hasil dari $\frac{1}{0}$ adalah tak terdefinisi atau tak hingga?",  "Bagaimana dengan $\frac{0}{0}$?", "Berapa nilai dari $tan{\frac{\pi}{2}}$ ?", "Apakah $\displaystyle\lim_{x\to 1}{\frac{1}{x-1}}=\infty$?" dan banyak pertanyaan lain terkait pembagian nol.

Baiklah, mari kita bahas beberapa istilah berikut yaitu Tak terdefinisi, tak hingga, dan tak tentu

Tak Terdefinisi (Undefined)

Sesuai namanya "tak terdefinisi" adalah sesuatu yang tidak bisa kita definisikan. Dalam matematika, banyak hal yang tidak terdefinisi (undefined) beberapa contoh diantaranya misalnya dalam geometri, kita sering mendengar dengan istilah "titik", namun tidak ada definisi yang menjelaskan apa itu titik. Contoh lain di luar geometri misalnya suatu fungsi $\displaystyle f(x)=\sqrt{x}$ tidak terdefinisi untuk $x$ negatif dengan $x$ anggota bilangan real dan $f(x)\in$ Real.

Dalam aritmetika, ketika kita membagi suatu bilangan dengan nol, maka hasilnya adalah tidak terdefinisi (bukanlah tak hingga). Perhatikan ilustrasi berikut:

Kita tahu bahwa pembagian adalah invers (balikan) dari perkalian, misal $\displaystyle\frac{a}{b}=c$ maka dapat kita nyatakan $\displaystyle c\times b=a$.

Contoh, $\displaystyle\frac{18}{3}=6$ dapat kita nyatakan $6 \times 3=18$


Namun, bagaimana dengan $\displaystyle\frac{18}{0}=x$, maka $x\times 0=18$, apakah ada nilai $x$ yang memenuhi? tentu saja jawabannya tidak. Oleh sebab itu, berapapun bilangannnya (selain nol) jika dibagi dengan 0, maka tidak bisa didefinisikan (tak terdefinisi).


Masalah pembagian dengan 0 ini, saya sarankan anda membaca salah satu artikel di mathforum.org mengenai division by zero atau klik disini




Tak Hingga (Infinity)

Istilah "Tak Hingga" atau "Tak Berhingga" atau "Tak Terhingga" merupakan istilah yang kita gunakan untuk menunjukkan suatu nilai yang amat sangat besar (positif tak hingga) atau suatu nilai yang amat sangat kecil (negatif tak hingga), meskipun demikian "tak hingga" bukanlah suatu bilangan (baik real maupun kompleks).

Tak hingga disimbolkan dengan $\displaystyle\infty$.


Dalam kalkulus, tak hingga $(\displaystyle\infty)$ dapat kita perlakukan layaknya lambang suatu bilangan namun harus mengikuti beberapa aturan sebagai berikut:

  1. $\displaystyle a+\infty=\infty$ untuk $a\in$ Bilangan Real
  2. $\displaystyle a-\infty=-\infty$ untuk $a\in$ Bilangan Real
  3. $\displaystyle a\times\infty=\infty$ untuk $a>0$ dan $a\in$ Bilangan Real
  4. $\displaystyle a\times(-\infty)=-\infty$ untuk $a>0$ dan $a\in$ Bilangan Real
  5. $\displaystyle a\times \infty=-\infty$ untuk $a\lt 0$ dan $a\in$ Bilangan Real
  6. $\displaystyle a\times (-\infty)=\infty$ untuk $a\lt 0$ dan $a\in$ Bilangan Real
  7. $\displaystyle 0+\infty=\infty$
  8. $\displaystyle 0-\infty=-\infty$
  9. $\displaystyle\frac{\infty}{a}=\infty$ untuk $a\gt 0$ dan $a\ne\infty$
  10. $\displaystyle\frac{-\infty}{a}=-\infty$ untuk $a\gt 0$ dan $a\ne \infty$
  11. $\displaystyle\frac{a}{\infty}=0$
Sebagai tambahan literatur, silakan baca ini .


Bentuk Tak Tentu (Indeterminate Form)

Sama halnya seperti tak hingga, "bentuk tak tentu" bukanlah suatu bilangan.
Salah satu contoh bentuk tak tentu adalah pembagian nol dengan nol $\displaystyle\left(\frac{0}{0}\right)$. Mungkin beberapa orang mengira bahwa nilai dari $\displaystyle\frac{0}{0}$ adalah 1, karena pembilang dan penyebutnya sama. Namun, hal tersebut keliru. Karena $\displaystyle\frac{0}{0}$ tidak menghasilkan nilai tunggal, karena itu disebut sebagai bentuk tak tentu. Misal $\displaystyle\frac{0}{0}=k$ maka $0\times k=0$, persamaan $0\times k=0$ terpenuhi untuk sembarang nilai $k$ bilangan real, untuk itu $\displaystyle\frac{0}{0}$ tidak memiliki solusi tunggal

Dalam kalkulus, dikenal beberapa bentuk tak tentu sebagai berikut:

  1. $\displaystyle\frac{0}{0}$
  2. $\displaystyle\infty-\infty$
  3. $\displaystyle\frac{\infty}{\infty}$
  4. $\displaystyle 0\times \infty$
  5. $\displaystyle 0^0$
  6. $\displaystyle \infty^0$
  7. $\displaystyle 1^\infty$



Beberapa Masalah Terkait 

Berikut ini beberapa masalah yang berkaitan dengan istilah tak terdefinisi, tak hingga dan tak tentu

1. Dalam Trigonometri

Saya pribadi sering bertanya pada anak didik "Berapa nilai dari $\tan{90^\circ}$?". Banyak diantaranya yang menjawab "Tak hingga" ada juga yang menjawab "Tak terdifinisi". Menurut anda mana yang banar?

Nilai dari $\tan{90^\circ}$ adalah tak terdefinisi. Perhatikan grafik dari $y=\tan{x}$ berikut ini:
Dari grafik $y=\tan{x}$ di atas, bisa kita lihat bahwa kurva sama sekali tidak pernah menyentuh $x=\frac{\pi}{2}$, jadi tampak jelas bahwa nilai dari $\tan{90^\circ}$ tak terdefinisi. Bahkan secara umum dapat dikatakan sebagai berikut:





Dalam Trigonometri, $\tan{\theta}$, $\sec{\theta}$ tidak terdefinisi untuk $\theta=\left(n-\frac{1}{2}\right)\times 180^\circ$, dan $\cot{\theta}$ dan juga $\csc{\theta}$ tidak terdefinisi untuk $\theta=n\times 180^\circ$

2. Dalam Masalah Limit

Bagaimana jika saya bertanya berapakah nilai dari $\displaystyle\lim_{x\to 1}{\frac{1}{x-1}}$?

Jika jawaban anda adalah $\infty$ atau "tak hingga", maka jawaban anda belum tepat.

Nilai suatu limit fungsi ada atau terdefinisi jika limit kiri nilainya sama dengan limit kanan.

Untuk kasus soal di atas, limit kiri fungsi tersebut adalah negatif tak hingga, bisa kita tulis:
$$\lim_{x\to 1^-}{\frac{1}{x-1}}=-\infty$$
Sementara limit kanan fungsi tersebut adalah positif tak hingga, bisa kita tulis:
$$\lim_{x\to 0^+}{\frac{1}{x-1}}=+\infty$$
Karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan, maka $\displaystyle\lim_{x\to 1}{\frac{1}{x-1}}$ adalah tidak terdefinisi, artinya limit tersebut tidak memiliki penyelesaian.
$$\lim_{x\to 1^-}{\frac{1}{x-1}}\ne\lim_{x\to 1^+}{\frac{1}{x-1}}\Rightarrow \lim_{x\to 1}{\frac{1}{x-1}}=\text{Tak Terdefinisi}$$

untuk memastikan, perhatikan grafik $\displaystyle y=\frac{1}{x-1}$ berikut ini:




Bisa kita lihat nilai untuk $x=1$ pendekatan dari kiri dan kanan tidaklah sama.

Jadi, tidak semua limit bisa kita cari nilainya, kita harus memastikan apakah limit tersebut terdefinisi atau tidak.

Demikianlah masalah terkait istilah tak terdefinisi, tak hingga, dan tak tentu.

Artikel ini hanya ditulis oleh penulis yang sangat minim ilmu, jadi sebaiknya jangan jadikan tulisan ini sebagai referensi utama, silakan anda cari referensi lain yang lebih terpercaya.

Semoga bermanfaat

Trik Menyelesaikan Limit Tak Hingga Akar Pangkat 3

Add Comment



Kesempatan kali ini saya akan membahas bagaimana cara menyelesaikan persmalahan limit mendekati tak hingga yang saat ini dipelajari di kelas XII pada mata pelajaran matematika peminatan (untuk kurikulum 2013 revisi). Namun yang akan kita bahas, saya khususkan membahas bagaimana cara menyelesaikan limit tak hingga bentuk $\infty-\infty$ yang melibatkan akar pangkat 3.

Alasan kenapa saya menulis masalah ini, karena kebetulan hari ini pada salah satu grup diskusi matematika yang saya ikuti, ada salah satu pertanyaan yang menanyakan masalah terkait limit tak hingga akar pangkat 3, jadi rasanya perlu untuk saya bahas.

Bentuk limit  tak hingga akar pangkat 3 yang akan kita bahas yaitu yang bentuknya sebagai berikut:

$$\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt[3]{ax^3+bx^2+cx+d}-\sqrt[3]{ax^3+px^2+qx+r}\right)$$
Jika kita substitusi akan diperoleh $\infty-\infty$ (bentuk tak tentu). Tentu saja penyelesaiannya bukan itu.

Kita tidak bisa menghilangkan bentuk akar dengan cara kali sekawan seperti halnya akar pangkat 2. Namun, kita dapat memanfaatkan bentuk aljabar berikut menghilangkan bentuk akar pangkat 3:

$$(m^3-n^3)(m^2+mn+n^3)$$
Menemukan Cara Cepat Menyelesaikan Limit Tak hingga Akar Pangkat Tiga

Mari kita kembali ke bentuk umum permasalah yang akan kita selesaikan yaitu:

$$\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt[3]{ax^3+bx^2+cx+d}-\sqrt[3]{ax^3+px^2+qx+r}\right)$$
Untuk menghemat penulisan, saya akan gunakan pemisalan sebagai berikut:
$\displaystyle m={\sqrt[3]{ax^3+bx^2+cx+d}}$
$\displaystyle n={\sqrt[3]{ax^3+px^2+qx+r}}$

maka:

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt[3]{ax^3+bx^2+cx+d}-\sqrt[3]{ax^3+px^2+qx+r}\right)=\lim_{x\to\infty}(m-n)$

Kita kalikan dengan $\displaystyle\frac{m^2+mn+n^2}{m^2+mn+n^2}$, maka kita peroleh:


$\begin{align*}\lim_{x\to\infty}(m-n)\times\frac{m^2+mn+n^2}{m^2+mn+n^2}&=\lim_{x\to\infty}{\frac{(m-n)(m^2+mn+n^2)}{m^2+mn+n^2}}\\&=\lim_{x\to\infty}{\frac{m^3-n^3}{m^2+mn+n^2}}\end{align*}$


sekarang, kita substitusikan kembali $\displaystyle m={\sqrt[3]{ax^3+bx^2+cx+d}}$ dan $\displaystyle n={\sqrt[3]{ax^3+px^2+qx+r}}$ ke bentuk limit terakhir yang kita peroleh:



Karena kita berada dalam konteks limit mendekati tak hingga, maka yang akan kita ambil derajat tertinggi dari penyebut dan pembilang, sehingga kita peroleh:

$\begin{align*}\lim_{x\to\infty}\frac{(b-p)x^2}{(\sqrt[3]{ax^3})^2+(\sqrt[3]{ax^3})(\sqrt[3]{ax^3})+(\sqrt[3]{ax^3})^2}&=\lim_{x\to\infty}{\frac{(b-p)x^2}{(\sqrt[3]{ax^3})^2+(\sqrt[3]{ax^3})^2+(\sqrt[3]{ax^3})^2}}\\&=\lim_{x\to\infty}{\frac{(b-p)x^2}{3(\sqrt[3]{ax^3})^2}}\\&=\lim_{x\to\infty}{\frac{(b-p)x^2}{3\sqrt[3]{a^2}x^2}}\\&=\frac{b-p}{3\sqrt[3]{a^2}}\end{align*}$


Dari sederet langkah yang kita lakukan di atas, kita peroleh kesimpulan:
$$\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt[3]{ax^3+bx^2+cx+d}-\sqrt[3]{ax^3+px^2+qx+r}\right)=\frac{b-p}{3\sqrt[3]{a^2}}$$

Agar mengetahui bagaimana penerapan formula di atas untuk menyelesaikan permasalahan limit tak hingga akar pangkat 3, perhatikan beberapa contoh soal dan pembahasan berikut ini:

Baca: Download bank soal limit tak hingga pdf 

Contoh 1
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}{\left(\sqrt[3]{x^3+12x^2+4x-1}-\sqrt[3]{x^3-6x^2+2x+10}\right)}=$ ....

 Pembahasan:

$\begin{align*}\lim_{x\to\infty}{\left(\sqrt[3]{x^3+12x^2+4x-1}-\sqrt[3]{x^3-6x^2+2x+10}\right)}&=\frac{12-(-6)}{3\sqrt[3]{1^2}}\\&=\frac{12+6}{3}\\&=\frac{18}{3}\\&=6\end{align*}$
 Contoh 2

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}{\left(\sqrt[3]{8x^3+12x^2}-(2x+2)\right)}=$ ....

 Pembahasan:

$\begin{align*}\lim_{x\to\infty}\left ( \sqrt[3]{8x^3+12x^2}-(2x+2)] \right )&=\lim_{x\to\infty}\left ( \sqrt[3]{8x^3+12x^2} -\sqrt[3]{(2x+2)^3}\right )\\&=\lim_{x\to\infty}\left ( \sqrt[3]{8x^3+12x^2} -\sqrt[3]{8x^3-24x^2+24x-8}\right )\\&=\frac{2-(-24)}{3.\sqrt[3]{8^2}}\\&=\frac{36}{12}\\&=3\end{align*}$

Demikianlah pembahasan terkait materi limit tak hingga akar pangkat 3. Semoga bermanfaat


Download Bank Soal Induksi Matematika pdf

1 Comment

Pada tulisan sebelumnya, kita telah membahas materi iduksi matematika, meliputi induksi matematika sederhana, induksi matematika umum, dan induksi matematika kuat , bahkan sudah saya sertakan pula beberapa soal dan pembahasan terkait materi induksi matematika yang dipelajari di kelas 11 semester ganjil matematika wajib untuk kurikulum 2013 revisi.

Cara paling efektif untuk belajar matematika tentun saja dengan banyak berlatih berbagai tipe soal dengan taraf kesukaran yang beragam. Untuk itu, untuk menunjang proses belajar adik-adik terkait materi induksi matematika, silakan adik-adik download soal induksi mateatika berikut, silakan di print dan gunakan sebagai bahan latihan.

Bank soal materi induksi matematika yang kami bagikan ini terdiri dari 29 butir soal meliputi pembuktian deret bilangan, pembuktian keterbagian, dan pembuktian pertidaksamaan dengan menggunkan induksi matematika. File tersebut berformat pdf.

Sebelum adik-adk download, perhatikan pratinjau berikut ini:


 Download Soal Induksi 

Demikian soal induksi matematika yang dapat kami bagikan, semoga bermanfaat

Konsep, Soal dan Pembahasan Induksi Matematika

Add Comment

Induksi Matematika merupakan salah satu metode pembuktian dalam matematika, selain Induksi Matematika ada beberapa metode lain yang biasa digunakan dalam pembuktian kebenaran suatu pernyataan seperti pembuktian langsung, pembuktian tak lanngsung, trivial, dan sebagainya. Namun dalam tulisan ini kita hanya akan membahas metode pembuktian dengan induksi matematika, dimana materi ini sudah di pelajari sejak SMA (untuk kurikulum 2013, induksi matematika dipelajari di kelas XI matematika wajib)

Sebelumnya, saya pernah membuat tulisan mengenai konsep dasar mengenai induksi matematika sederhana, induksi matematika umum, dan induksi matematika kuat  .  

Maksud dari induksi matematika adalah membuktikan sesuatu yang umum, diturunkan dari beberapa hal yang khusus, dan cara ini berlaku untuk semua $n$ bilangan asli.

Untuk membuktikan bahwa suatu rumus berlaku untuk semua bilangan asli, cara pembuktiannya diperlukan 2 tahapan, yaitu:
  1. Tunjukkan benar untuk $n=1$
  2. Tunjukkan benar untuk $n=k$ dan benar juga untuk $n=k+1$
Jika kedua syarat tersebut terpenuhi, maka rumus tersebut benar untuk setian $n\in N$.

Berikut ini saya sajikan beberapa contoh pembuktian dengan induksi matematika meliputi pembuktian deret bilangan dan pembuktian pertidaksamaan




Pembuktian Deret Bilangan dengan Induksi Matematika

Untuk contoh soal no 1 sampai no 3 saya bahas dengan menggunakan notasi sigma, jadi sebaiknya pelajari dulu konsep dan sifat-sifat notasi sigma disini

Contoh 1 
Buktikan bahwa jumlah $n$ suku pertama bilangan ganjil adalah $n^2$

 Pembahasan:
Pernyataan pada soal di atas dapat ditulis:
$\begin{align*}1+3+5+\cdots+(2n-1)&=n^2\\\sum_{i=1}^{n}\left(2i-1\right )&=n^2\end{align*}$ 

Langkah 1
Untuk $n=1$, $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(2i-1)=1=1^2$ (Benar)

Langkah 2
Misalkan pernyataan di atas berlaku untuk $n=k$, maka:
$\displaystyle\sum_{i=1}^{k}(2i-1)=k^2$   (Hipotesis)

Berdasarkan hipotesis diatas, akan kita buktikan bahwa pernyataan tersebut benar juga untuk $n=k+1$, maka haruslah $\displaystyle\sum_{i=1}^{k+1} (2i-1)=(k+1)^2$

kita akan bekerja di ruas kiri
$\begin{align*}\sum_{i=1}^{k+1}(2i-1)&=\sum_{i=1}^{k}(2i-1)+\sum_{i=k+1}^{k+1}(2i-1)\\&=k^2+\left\{ 2(k+1)-1\right \}\\&=k^2+2k+1\\&=(k+1)^2\end{align*}$

Karena pernyataan di atas benar untuk $n=1$ dan $n=k+1$, maka $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(2i-1)=n^2$ adalah benar.


 Contoh 2:

Buktikan bahwa:
$1^2+2^2+3^2+\cdots+n=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

 Pembahasan:

Pernyataan pada soal di atas dapat ditulis:
$$\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$
Langkah 1
Untuk $n=1$, 
$\begin{align*}\sum_{i=1}^{1}i^2&=\frac{1}{6}(1)(1+1)(2+1)\\1&=1\space\text{         (Benar)}\end{align*}$

Langkah 2

Misalkan pernyataan di atas benar untuk $n=k$, yaitu:
$\displaystyle\sum_{i=1}^{k}i^2=\frac{1}{6}k(k+1)(2k+1)$  (Hipotesis)

Untuk $n=k+1$ maka haruslah

$\begin{align*}\sum_{i=1}^{k+1} i^2&=\frac{1}{6}(k+1)\left\{ (k+1)+1\right \} \left\{ 2(k+1)+1\right \} \\&=\frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+3)\end{align*}$

Bukti:

$\begin{align*}\sum_{i=1}^{k+1}i^2&=\sum_{i=1}^{k}i^2+\sum_{i=k+1}^{k+1}i^2\\&=\left(\frac{1}{6}k(k+1)(2k+1)\right)+(k+1)^2\\&=\frac{1}{6}(k+1)\left\{k(2k+1)+6(k+1)\right\}\\&=\frac{1}{6}(k+1)(2k^2+k+6k+6)\\&=\frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+3)\end{align*}$

 Contoh 3:
Buktikan $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n}{2}(n+1)$

 Pembahasan:


Langkah 1

Untuk $n=1$, maka 
$\frac{n}{2}(n+1)=\frac{1}{2}(1+1)=1$   (Benar)

Langkah 2

Misalkan pernyataan di atas benar untuk $n=k$, yaitu:
$\displaystyle\sum_{i=1}^{k}i=\frac{k}{2}(k+1)$  (Hipotesis)

Untuk $n=k+1$ jumlahnya haruslah:
$\begin{align*}\sum_{i=1}^{k+1}i&=\frac{k+1}{2}\left\{(k+1)+1 \right\}\\&=\left(\frac{k+1}{2}\right)(k+2)\end{align*}$

Bukti:
$\begin{align*}\sum_{i=1}^{k+1}i&=\sum_{i=1}^{k}i+\sum_{i=k+1}^{k+1}i\\&=\frac{k}{2}(k+1)+(k+1)\\&=\left(\frac{k}{2}+1\right)(k+1)\end{align*}$

Contoh 4:
Buktikan bahwa $\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\frac{1}{4}n^2\left(n+1\right)^2$

Pembahasan:


Langkah 1

Untuk $n=1$, maka
$\begin{align*}1^3&=\frac{1}{4}(1^2)(1+1)^2\\1&=\frac{1}{4}(1)(4)\\1&=1\space\text{      (Benar)}\end{align*}$

Langkah 2

Misalkan benar untuk $n=k$, yaitu:
$\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3=\frac{1}{4}k^2(k+1)^2$

akan dibuktikan untuk $n=k+1$

$\begin{align*}1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3+(k+1)^3&=\frac{1}{4}(k+1)^2((k+1)+1)^2\\ \frac{1}{4}k^2(k+1)^2+(k+1)^3&=\frac{1}{4}(k+1)^2(k+2)^2\\\frac{1}{4}(k+1)^2(k^2+4k+4)&=\frac{1}{4}(k+1)^2(k+2)^2\\\frac{1}{4}(k+1)^2(k+2)^2&=\frac{1}{4}(k+1)^2(k+2)^2 \end{align*}$

Tips : Jika ada karakter/persamaan matematika pada tulisan ini yang tidak tampil sempurna atau terpotong karena anda membuka laman ini melelui mobile (android), masalah karena resolusi yang tidak memadai, sebaiknya kunjungi laman ini menggunakan PC/laptop. Jika menggunakan handphone sebaiknya dalam posisi landscape

Contoh 5
Buktikan bahwa $\displaystyle (1.1!)+(2.2!)+(3.3!)+\cdots+(n.n!)=(n+1)!-1$

 Pembahasan:


Langkah 1

Untuk $n=1$, maka
$\begin{align*}1.1!&=(1+1)!-1\\1.1&=2!-1\\1&=2-1\\1&=1\space\space\space\text{(Benar)}\end{align*}$

Langkah 2

Misal benar untuk $n=k$, yaitu:

$\displaystyle (1.1!)+(2.2!)+(3.3!)+\cdots+(k.k!)=(k+1)!-1$


Akan dibuktikan untuk $n=k+1$

$\begin{align*}(1.1!)+(2.2!)+(3.3!)+\cdots+(k.k!)+\left((k+1)(k+1)!\right)&=\left((k+1)+1\right)!-1\\(k+1)!-1+(k+1)(k+1)!&=(k+2)!-1\\(k+1)!(1+k+1)-1&=(k+2)!-1\\(k+1)!(k+2)-1&=(k+2)!-1\\(k+2)!-1&=(k+2)!-1\end{align*}$




Pembuktian Keterbagian dengan Induksi Matematika


Contoh 6
Buktikan untuk $n\in$ bilangan asli $4^n-1$ habis dibagi 3

 Pembahasan:


Langkah 1

Untuk $n=1$, maka:
$4^1-1=3$  (habis dibagi 3)

Langkah 2

Misalkan pernyataan di atas benar untuk $n=k$, maka $4^k-1$ habis dibagi 3 (hipotesis)

Akan dibuktikan untuk $n=k+1$

$\begin{align*}4^{k+1}-1&=4.4^k-1\\&=3.4^k+4^k-1\\&=3.4^k+\left(4^k-1\right)\end{align*}$

Jelas $3.4^k$ merupakan kelipatan 3 dan berdasarkan hipotesis $4^k-1$ merupakan kelipatan 3, maka terbukti bahwa $4^n-1$ habis dibagi 3 untuk $n\in $ bilangan asli


 Contoh 7
Buktikan $\displaystyle a^{2n}-b^{2n}$ habis dibagi oleh $(a+b)$

 Pembahasan:


Langkah 1

Untuk $n=1$, maka $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
Karena $(a-b)(a+b)$ habis dibagi $(a+b)$, maka pernyataan tersebut benar untuk $n=1$

Langkah 2

Misalkan pernyataan tersebut benar untuk $n=k$, yaitu $a^{2k}-b^{2k}$ habis dibagi $(a+b)$.

Akan dibuktikan untuk $n=k+1$

$\begin{align*}a^{2(k+1)-b^{2(k+1)}}&=a^{2k+2}-b^{2k+2}\\&=a^2(a^{2k}-b^{2k})+b^{2k}(a^2-b^2)\end{align*}$

Karena $a^{2k}-b^{2k}$ habis dibagi $(a+b)$ dan $a^2-b^2$ juga habis dibagi $(a+b)$, maka $a^{2n}-b^{2n}$ habis dibagi oleh $(a+b)$


Baca: Download Bank soal induksi matematika format pdf

Contoh 8
Buktikan $4^{n+1}-4$ habis dibagi 12

 Pembahasan:


Langkah 1

Untuk $n=1$
$4^{1+1}-4=4^2-4=16-4=12$     (habis dibagi 12)

Langkah 2

Misal pernyataan tersebut benar untuk $n=k$, yaitu:
$4^{k+1}-4$ habis dibagi 12

Akan dibuktikan untuk $n=k+1$

$\begin{align*}4^{(k+1)+1}-4&=4^{k+2}-4\\&=16.4^k-4\\&=12.4^k+4.4^k-4\\&=12.4^k+(4^{k+1}-4)\end{align*}$

Karea $12.4^k$  dan $4^{k+1}-4$ habis dibagi 12, maka $4^{n+1}-4$ habis dibagi 12


 Contoh 9:
Buktikan bahwa $P(n)=n(n+1)(n+5)$  habis dibagi 3

 Pembahasan:


Langkah 1

Untuk $n=1$, maka 
$P(1)=1(1+1)(1+5)=12$    (habis dibagi 3)

Langkah 2

Misalkan pernyataan di atas benar untuk $n=k$,  atau dengan kata lain $P(k)$ merupakan kelipatan 3,
$P(k)=k(k+1)(k+5)=k^3+6k^2+5k$ 

Akan dibuktikan bahwa $P(k+1)$ merupakan kelipatan 3:
$\begin{align*}P(k+1)&=(k+1)\left((k+1)+1\right)\left((k+1)+5\right)\\&=(k+1)(k+2)(k+6)\\&=k^3+9k^2+10k+12\\&=(k^3+6k^2+5k)+(3k^2+15k+12)\\&=(k^3+6k^2+5k)+3(k^2+5k+4)\end{align*}$

Berdasarkan hipotesis, $k^3+6k^2+5k$ merupakan kelipatan 3 dan $3(k^2+5k+4)$ jelas merupakan kelipatan 3, maka dapat disimpulkan bahwa $P(n)$ habis dibagi 3 untuk $n\in N$




Pembuktian Pertidaksamaan dengan Induksi Matematika

 Contoh 10:
Buktikan bahwa
$$n^2 \geq 2n+7$$
untuk setiap bilangan asli $n\geq 4$


 Pembahasan:
Kita gunakan induksi matematika umum, dengan:
$P(n)\equiv n^2 \geq 2n+7$
Kita akan membuktikan bahwa $P(n)$ benar untuk setiap bilangan asli $n$ dengan $ n\geq 4$.

Langkah 1 (Langkah dasar):
kita akan membuktikan kebenaran $P(4)$
$P(4)\equiv 4^2\geq 2(4)+7\Leftrightarrow 16\geq 15$ (Benar)

Langkah 2 (Langkah Induksi):
kita misalkan $P(k)$ benar untuk $k \geq 4$
$P(k)\equiv k^2 \geq 2k+7$ untuk $ k \geq 4$ (hipotesis)

dari hipotesis kita peroleh:
$k^2 \geq 2k+7$             jika kedua ruas kita tambah $2k+1$, maka:
$k^2+2k+1 \geq 4k+8$
$(k+1)^2 \geq 4k+8$
$(k+1)^2 \geq 2(k+1)+2(k+3)$ karena $k \geq 4$ maka $k+3 \geq 7$
$(k+1)^2 \geq 2(k+1)+2(7)$
$(k+1)^2 \geq 2(k+1)+14$

Dengan menggunakan hal di atas, kita akan membuktikan $P(k+1)$, yaitu:
$$P(k+1) \equiv (k+1)^2 \geq 2(k+1)+7$$
karena $(k+1)^2 \geq 2(k+1)+14$ pada hipotesis kita misalkan benar, maka $(k+1)^2 \geq 2(k+1)+7$ benar (karena 14 > 7)
Dengan demikian pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan asli  $n\geq 4$

Demikianlah beberapa soal dan pembahasan terkait materi induksi matermatika yang dipelajari di kelas XI Matematika wajib. Semoga bermanfaat

Jika menginginkan file pdf untuk tulisan ini, silakan download melalui link berikut:


Download format pdf artikel ini 

Notasi Sigma - Konsep, Sifat-sifat, Contoh Soal dan Pembahasan

Add Comment


Salah satu ciri khas matematika penggunaan lambang yang singkat untuk menampilkan suatu ungkapan yang panjang, salah satunya adalah notasi sigma $\left( \sum \right)$.

Secara sederhana, sigma bisa kita artikan sebagai jumlah. Penggunaan notasi sigma sebagai operator penjumlahan sangat erat kaitannya dengan deret suatu bilangan. Notasi sigma dapat digunakan untuk menyederhanakan penulisan deret suatu bilangan terurut dengan pola tertentu dengan ringkas dan sederhana.

Bagaimana kita menulis ungkapan seperti di bawah ini?
  1. $2+4+6+8+10+\cdots+1000$
  2. $1+5+7+9+11+\cdots+2019$
  3. $1+9+16+25+36+...+1.000.00$

Dari contoh di atas, ternyata memang sangat memerlukan suatu notasi atau lambang untuk menyatakan penjumlahan teratur yang sangat panjang, yaitu dengan notasi sigma $\displaystyle\left(\sum\right)$ yang didefinisikan sebagai berikut:
$$\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_k$$
Keterangan:
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k$ dibaca jumlah dari $a_k$ untuk $k$ dari 1 sampai $n$
$k$ disebut sebagai indeks (penunjuk) dari suku $a_k$
$a_k$ disebut sebagai suku ke-$k$
$k=1$ disebut sebagai batas bawah
$k=n$ desebut sebagai batas atas

Catatan:
indeks (penunjuk) tidak harus selalu menggunkan $k$, kita boleh menggunkan variabel lain, misal:
$\displaystyle\sum_{p=1}^{n} a_p$  atau $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i$ dan sebagainya


Menentukan Nilai Penjumlahan yang Dinyatakan dengan Notasi Sigma

Contoh 1:
Tentukan nilai dari $\displaystyle\sum_{k=1}^{4}(k-1)^2$

Jawab:

$\begin{align*}\sum_{k=1}^{4}(k-1)^2&=(1-1)^2+(2-1)^2+(3-1)^2+(4-1)^2\\&=0^2+1^2+2^2+3^2\\&=0+1+4+9\\&=14\end{align*}$

Contoh 2:
Tentukan nilai dari $\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(2i+1)$

Jawab:
$\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(2i+1)=3+5+7+\cdots+21$

Perhatikan, deret tersebut merupakan deret aritmetika. Jadi, untuk menentukan jumlahnya akan lebih mudah jika kita gunakan rumus jumlah deret aritmetika $S_n=\frac{n}{2}(a+U_n)$ dengan $a$ suku pertama dan $U_n$ suku terakhir, maka:

$\begin{align*}\sum_{i=1}^{10}(2i+1)&=\frac{10}{2}(3+21)\\&=5(24)\\&=120\end{align*}$ 

Contoh 3:
Tentukan nilai dari $\displaystyle\sum_{k=1}^{7}(3k-1)$

Jawab:
Karena $\displaystyle\sum_{k=1}^{7}(3k-1)$ merupakan deret aritmetika, maka kita bisa menggunkan cara yang sama dengan contoh 2 di atas:
$\begin{align*}\sum_{k=1}^{7}(3k-1)&=\frac{7}{2}(2+20)\\&=\frac{7}{2}(22)\\&=77\end{align*}$

Menulis Deret Bilangan dalam Notasi Sigma

Contoh 1:
Tuliskan dalam notasi sigma:
$$4+5+6+7+8+\cdots+100$$
Jawab:
$\displaystyle 4+5+6+\cdots+100=\sum_{k=4}^{100}(a_k)$

Sifat-sifat Notasi Sigma

Berikut ini bebrapa sifat notasi sigma:

No Sifat Notasi Sigma
1 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} C=n.C$
2 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}C.a_k=C\sum_{k=1}^{n}a_k$
3 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k=\left(\sum_{k=1}^{n-1}a_k\right)+a_n$
4 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k\pm b_k)=\sum_{k=1}^{n}a_k\pm\sum_{k=1}^{n}b_k$
5 $\displaystyle\sum_{k=m}^{n}a_k=\sum_{k=m+p}^{n+p} a_{k-p}$
6 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k=\sum_{k=1}^{m}a_k+\sum_{m+1}^{n}a_k$
7 $\displaystyle\sum_{k=n}^{n}a_k=a_n$
8 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n-s}a_k=\sum_{k=1}^{n}a_k-\sum_{k=n-s+1}^{n}a_k$
9 $\displaystyle\sum_{k=1}^{0}a_k=0$
10 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k\pm b_k)^2=\sum_{k=1}^{n}a_k^2\pm 2\sum_{k=1}^{n}a_k .b_k+\sum_{k=1}^{n}b_k^2$

Contoh Soal:
Dengan menggunakan sifat notasi sigma, buktikan bahwa $\displaystyle\sum_{n=1}^{4} (3n+2)=3\left(\sum_{n=1}^{4}n\right)+8$

Jawab:


Ruas Kiri:
$\begin{align*}\sum_{n=1}^{4}(3n+2)&=\sum_{n=1}^{4}{3n}+\sum_{n=1}^{4}{2}\\&=3\sum_{n=1}^{4}{n}+4.2\\&=\left(3\sum_{n=1}^{4}{n}\right)+8\end{align*}$

Ruas kiri = ruas kanan, terbukti.


Demikianlah penjelasan singkat mengenai notasi sigma, semoga bermanfaat.



Download file pdf artikel ini