Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 (Matdas/TKPA Kode 224)



Soal SBMPTN 2017 Matematika Dasar Kode 224, silakan download pada link ini

Soal No 1
Misalkan $A^T$ adalah transpos matriks $A$. Jika $A=\begin{pmatrix}a &1 \\ 0 &b\end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix}1 &2 \\ 2 &4\end{pmatrix}$ sehingga $A^TB=\begin{pmatrix}1 &2\\ 5 &10\end{pmatrix}$. Maka nilai $a+b$ adalah ....
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5

Pembahasan:

$\begin{align*} A^{T}B&=\begin{pmatrix}1 & 2\\5 & 10\end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}
a & 0\\1 & b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 2\\2 & 4 \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}1 & 2\\5 & 10\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}
a & 2a\\1+2b & 2+4b\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}1 & 2\\5 & 10\end{pmatrix}\end{align*}$

dari kesamaan matriks di atas maka kita peroleh $a=1$ dan $1+2b=5 \Rightarrow b=2$, maka $a+b=1+2=3$ 
Jawaban : C

Soal No 2
Jika himpunan penyelesaian $|2x-a| < 5$ adalah  $\left\{x | -1 < x < 4 \right\}$ maka nilai $a$ adalah ....
A. $-4$
B. $-3$
C. $-1$
D. $3$
E. $4$


Pembahasan:
$$-5\lt 2x-a \lt 5 \\ a-5 \lt 2x \lt a+5 \\ \frac{a-5}{2}\lt x \lt \frac{a+5}{2}$$
perhatikan, soal sudah memberikan interval $x$ yaitu  $-1\lt x \lt 4$, maka:

$\begin{align*}\frac{a-5}{2}&=-1\\a-5&=-2\\a&=-2+5\\a&=3\end{align*}$



Jawaban: D

Soal No 3
Perhatikan gambar berikut:




Pada segitiga siku-siku samakaki $ABC$, sisi $AB$ dan $BC$ masing-masing terbagi menjadi tiga bagian yang sama, berturut-turut oleh titik $K$, $L$, $M$ dan $N$. Jika luas segitiga $ABC$ adalah $x$ $cm^2$, maka luas segitiga $KMN$ adalah ... $cm^2$

A. $\frac{x}{3}$
B. $\frac{2x}{9}$
C. $\frac{x}{9}$
D. $\frac{x}{18}$
E. $\frac{x}{36}$

Pembahasan:

$\begin{align*}\text{Luas segitiga}\space ABC&=\frac{1}{2}\times BC\times AB\\x&=\frac{1}{2}\times BC\times AB\\BC\times AB&=2x\end{align*}$

$\text{Luas segitiga}\space KMN=\frac{1}{2}\times MN\times BK$


Perhatikan bahwa:
$MN=\frac{1}{3} BC$
$BK=\frac{2}{3} AB$

maka:
$\begin{align*}\text{Luas segitiga}\space KMN&=\frac{1}{2}\times MN \times BK\\&=\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}BC\times\frac{2}{3}AB\\&=\frac{1}{9}\times BC\times AB\end{align*}$
Di atas kita telah menemukan bahwa $BC\times AB=2x$, dengan demikian
Luas segitiga $KMN=\frac{1}{9}\times 2x=\frac{2x}{9}$
Jawaban : B

Soal No 4
Sumbu simetri grafik $f(x)=ax^2+bx+c$ adalah $x=1$, jika $f(0)=0$ dan $f(4)=-16$, maka nilai $b-a$ adalah ....
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
E. 2

Pembahasan:

sumbu simetri $x=-\frac{b}{2a}$
$\begin{align*}-\frac{b}{2a}&=1\\-b&=2a\\b&=-2a\end{align*}$

$\begin{align*}f(0)=0\Rightarrow a(0)^2+b(0)+c&=0\\0+0+c&=0\\c&=0\end{align*}$

$\begin{align*}f(4)=-16\Rightarrow a(4)^2+b(4)+c&=-16\\16a+4b+0&=-16\\16a+4(-2a)&=-16\\16a-8a&=-16\\8a&=-16\\a&=-2\end{align*}$


$b=-2a=-2(-2)=4$

$b-a=4-(-2)=6$
Jawaban : A


Soal No 5
Diketahui median dan rata-rata berat badan 5 balita adalah sama. Setelah ditambahkan satu data berat badan balita, rata-ratanya meningkat 1 kg, sedangkan mediannya tetap. Jika 6 data berat badan tersebut diurutkan dari yang paling ringan ke yang paling berat, maka selisih berat badan balita terakhir yang di tambahkan dan balita di urutan ke 4 adalah ... kg.
A. $4$
B. $\frac{9}{2}$
C. $5$
D. $6$
E. $\frac{13}{2}$

Pembahasan:
Misal berat badan kelima balita secara terurut adalah :$x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$

rata-rata = median = $x_3$

$\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5}=x_3\\ \Rightarrow x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=5x_3$

Misal balita terakhir yang di tambahkan adalah $x_6$, ketika $x_6$ di tambahkan, rata-rata-rata bertambah 1:

$\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6}{6}=x_3+1\\ \Rightarrow \frac{5x_3+x_6}{6}=x_3+1\\ \Rightarrow 5x_3+x_6=6x_3+6\\ \Rightarrow x_6-x_3=6$

Perhatikan soal, setelah $x_6$ ditambahkan, median tetap:
$x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$

median : $\frac{x_3+x_4}{2}=x_3\Rightarrow x_3=x_4$


Karena, $x_6-x_3=6$, dengan mensubstitusi $x_3$ dengan $x_4$, maka kita peroleh $x_6-x_4=6$, dengan demikian selisih balita ke-6 dengan bayi ke-4 adalah $6$
Jawaban : D






Soal No 6
Hasil bagi suku pertama oleh suku ke 5 suatu barisan aritmetika adalah $-\frac{1}{7}$. Jika suku ke 6 barisan tersebut adalah 9, maka suku ke 8 adalah ....
A. 10
B. 11
C. 13
D. 15
E. 17

Pembahasan:
$\begin{align*}\frac{U_1}{U_5}&=-\frac{1}{7}\\ \frac{a}{a+4b}&=-\frac{1}{7}\\ -7a&=a+4b\\-8a&=4b\\-2a&=b\\b&=-2a\end{align*}$

$\begin{align*} U_6&=9 \\ a+5b&=9 \\ a+5(-2a)&=9 \\a-10a&=9\\-9a&=9\\a&=-1 \end{align*}$

$b=-2a=-2(-1)=2$

$U_8=a+7b=-1+7(2)=-1+14=13$
Jawaban : C


Soal No 7
Seseorang memelihara ikan di suatu kolam. Rata-rata bobot ikan per ekor pada saat panen dari kolam tersebut adalah $(6-0,02x)$ kg. dengan $x$ menyatakan banyak ikan yang dipelihara. Maksimum total bobot semua ikan pada saat panen adalah ....
A. 400
B. 420
C. 435
D. 450
E. 465

Pembahasan:

Bobot Total Ikan $=\text{rata-rata bobot ikan}\times\text{banyak ikan}$

Misal Bobot Total Ikan $=BT$ 

$\begin{align*}BT&=(6-0,02x)x\\&=6x-0,02x^2\end{align*}$

Maksimum: $BT'=0$

$\begin{align*}6-0,04x&=0\\0,04x&=6\\x&=\frac{6}{0,04}\\x&=150\end{align*}$

$\begin{align*}\text{Berat total maksimum}&=6(150)-0,02(150)^2\\&=150(6-0,02(150))\\&=150(6-\frac{1}{50}.150)\\&=150(6-3)\\&=150(3)\\&=450\end{align*}$


Jawaban: D


Soal No 8
Suku ke-3 suatu barisan geometri dengan rasio negatif adalah $\frac{1}{2}$. Perbandingan suku ke-4 terhadap suku ke-2 adalah $\frac{1}{4}$. Jumlah 4 suku pertama barisan tersebut adalah ....
A. $\frac{5}{4}$
B. $\frac{4}{3}$
C. $2$
D. $\frac{10}{3}$
E. $4$

Pembahasan:

$\begin{align*}\frac{U_4}{U_2}&=\frac{1}{4}\\ \frac{ar^3}{ar}&=\frac{1}{4}\\r^2&=\frac{1}{4}\\r&=\pm\sqrt{\frac{1}{4}}\\r&=\pm\frac{1}{2}\end{align*}$

Karena rasio negatif, maka yang memenuhi adalah $r=-\frac{1}{2}$

$\begin{align*}U_3&=\frac{1}{2}\\ar^2=\frac{1}{2}\\a.\frac{1}{4}&=\frac{1}{2}\\a&=2\end{align*}$

$\begin{align*}S_4&=\frac{a(r^4-1)}{r-1}\\&=\frac{2\left(\left(-\frac{1}{2}\right)^4-1\right)}{-\frac{1}{2}-1}\\&=\frac{2\left(\frac{1}{16}-1\right)}{-\frac{3}{2}}\\&=\frac{2\left(-\frac{15}{16}\right)}{-\frac{3}{2}}\\&=\frac{5}{4}\end{align*}$
Jawaban : A


Soal No 9
Diketahui $f(x)=x^2-1$ dan $g(x)=\sqrt{x-3}$. Jika $a$ dan $b$ bilangan real sehingga $(g \circ f)(a)=(f \circ g)(b)=0$, maka maksimum selisih $a$ dan $b$ adalah ....
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
E. 10

Pembahasan:

$\begin{align*} \left ( g\circ f \right )\left ( a \right )&=0\\\left ( g \left ( f(a) \right )\right )&=0\\ \sqrt{\left ( a^2-1 \right )-3}&=0\\ \sqrt{a^2-4}&=0\\a^2-4&=0\\a^2&=4\\a&=\pm2\end{align*}$

$\begin{align*} \left ( f\circ g \right )\left ( b \right )&=0\\f\left ( g(b) \right )&=0\\\left ( \sqrt{b-3} \right )^2-1&=0\\b-4&=0\\b&=4\end{align*}$

Nilai maksimum selisih $a$ dan $b$ adalah $4-(-2)=6$
Jawaban : C


Soal No 10


Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan titik $X$ terletak pada rusuk $EF$ sejauh 2 cm dari $F$, dan $Y$ adalah titik potong perpanjangan $AX$ dengan $BF$. Jika panjang rusuk kubus adalah 6 cm, maka jarak $Y$ ke $G$ adalah ... cm


A. $2\sqrt{6}$
B. $3\sqrt{3}$
C. $3\sqrt{5}$
D. $2\sqrt{7}$
E. $3\sqrt{13}$

Pembahasan:
$\begin{align*}\frac{YF}{AE}&=\frac{FX}{XE}\\\frac{YF}{6}&=\frac{2}{4}\\YF&=\frac{2}{4}\times 6\\YF&=3\end{align*}$

$\begin{align*}YG&=\sqrt{3^2+6^2}\\&=\sqrt{9+36}\\&=\sqrt{45}\\&=3\sqrt{5}\end{align*}$
Jawaban : C






Soal No 11
Luas daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan $x-y\geq 3$, $2x-y\leq 8$, $y\geq 0$ adalah ... satuan luas.
A. $4$
B. $24$
C. $1$
D. $\frac{1}{2}$
E. $\frac{1}{4}$

Pembahasan:
Perhatikan, daerah  penyelesaian merupakan segitiga dengan panjang alas $1$ dan tinggi $2$, maka luas daerah penyelesaian tersebut adalah $\frac{1}{2}\times 1 \times 2=1$ satuan luas.
Jawaban : C


Soal No 12
Jika garis $y=x+2$ di translasikan dengan $\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$  dan kemudian dicerminkan terhadap sumbu $x$, maka petanya adalah garis $y=ax+b$, nilai $a+b$ adalah ....
A. $-5$
B. $-4$
C. $-2$
D. $2$
E. $4$

Pembahasan:
garis $y=x+2$ di translasikan dengan $\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ akan menghasilkan $(y-2)=(x-1)+2\Rightarrow y=x+3$.

garis $y=x+3$ dicerminkan terhadap sumbu $x$ akan menghasilkan $-y=x+3 \Rightarrow y=-x-3$, dengan demikian $a=-1$ dan $b=-3$, maka $a+b=-1+(-3)=-4$
Jawaban : B


Soal No 13
$\int {\frac{1-x}{\sqrt{x}}} dx=$ ....
A. $\frac{3}{2}(3+x)\sqrt{x}+C$
B. $\frac{2}{3}(3-x)\sqrt{x}+C$
C. $\frac{2}{3}\left(3+\sqrt{x}\right)x+C$
D. $\frac{1}{3\sqrt{x}}\left(\frac{1}{x}-1\right)+C$
E. $\frac{1}{2\sqrt{x}}\left(\frac{1}{x}+1\right)+C$


Pembahasan:
$\begin{align*}\int{\frac{1-x}{\sqrt{x}}}dx&=\int{\left(\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{x}{\sqrt{x}}\right)}dx\\ &=\int{\left(x^{-\frac{1}{2}}-x^{\frac{1}{2}}\right)}dx\\ &=2x^{\frac{1}{2}}-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C\\&=2\sqrt{x}-\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C\\&=\frac{2}{3}(3-x)\sqrt{x}+C\end{align*}$
Jawaban: B

Soal No 14
jika $f(x)=ax+b$ dan $\lim_{x\to 4}{\frac{f(x)}{\sqrt{x}-2}}=-4$, maka $f(1)=$ ....
A. $-5$
B. $-3$
C. $3$
D. $4$
E. $5$

Pembahasan:
$\begin{align*}\lim_{x\to 4}\frac{ax+b}{\sqrt{x}-2}\\ \Rightarrow\lim_{x\to 4}\frac{a}{\frac{1}{2\sqrt{x}}}=-4\\ \Rightarrow\frac{a}{\frac{1}{4}}=-4\\ \Rightarrow a=-1\end{align*}$

Karena merupakan limit bentuk $\frac{0}{0}$, maka haruslah:
$\f(4)=0\\a(4)+b=0\\-4+b=0\\b=4$

maka $f(x)=-x+4\Rightarrow f(1)=-1+4=3$
Jawaban : C


Soal No 15
Banyak susunan simbol yang terdiri atas tiga angka (boleh berulang) dan dua huruf vokal (boleh berulang) dengan syarat tidak boleh ada dua huruf berdekatan adalah ....
A. 75.000
B. 175.000
C. 100.000
D. 150.000
E. 125.000

Pembahasan:
Angka : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (10 buah)
Huruf vokal : a, i, u, e, o (5 buah)

Banyak cara menyusun 3 angka dan 2 huruf : $\frac{5!}{3!\times 2!}=10$ cara
kemungkinan 2 huruf berdekatan : HHAAA, AHHAA, AAHHA, AAAHH (4 cara)
Jadi, banyak cara menyusun 3 angka dan 2 huruf tanpa ada 2 huruf berdekatan adalah $10-4=6$ cara, dengan demikian banyaknya susunan adalah:
$$6\times 10^3\times5^2=150.000$$
Jawaban : D
Semoga bermanfaat.

$\blacksquare$ Denih Handayani, 2017

Siapa saya? Tidak ada hal istimewa tentang saya. Seseorang yang masih haus ilmu, namun ingin memberi manfaat untuk banyak orang. FB : https://facebook.com/denih.alkhawarizmi

Artikel Terkait

Previous
Next Post »

2 komentar

Write komentar
soniyaylnd
AUTHOR
11 December 2017 at 17:59 delete

Disini ga ada soal soal UMPTKIN ya?

Reply
avatar
Adam Febrian
AUTHOR
2 April 2018 at 10:52 delete

terima kasih bimbingannya. dengan ini pembelajaran mandiri menjadi lebih mudah.

Reply
avatar

Kritik, saran atau koreksi silahkan isi kolom komentar EmoticonEmoticon