Beranda / Olimpiade

Ketaksamaan Rataan Kuadrat (QM), Rataan Aritmatika (AM), Rataan Geometri (GM) dan Rataan Harmonik (HM)

Mungkin kita agak asing dengan istilah-istilah Ketaksamaan Rataan Kuadrat (QM), Rataan Aritmatika / Arithmatic Mean (AM), Rataan Geometri / Geometric Mean (GM) dan Rataan Harmonik / Harmonic Mean (HM), baiklah kalau gitu akan saya jelaskan dulu satu persatu

Secara umum, Jika kita mempunyai n buah bilngan $x_{1}, x_{2}, x_{3}, ... , x_{n}$ maka di definisikan bahwa:

dan selalu berlaku :

$QM\geq AM\geq GM\geq HM$

Contoh Soal 1:

(Soal Kompetensi Matematika SMU Bandung 1998/1999)

untuk p, q, r > 0 dan p+q+r=1 , buktikan bahwa

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}\geq 9$

Jawab:

$AM\geq HM$

$\frac{p+q+r}{3}\geq \frac{3}{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}}$

$\frac{1}{3}\geq \frac{3}{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}}$

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}\geq 9$

Terbukti

Contoh Soal 2:

Buktikan bahwa $a^{2}+b^{2}\geq 2ab$ untuk bilangan real positif a dan b.

Jawab:

berdasarkan ketaksamaan AM-GM diperoleh:

$\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\geq \sqrt{a^{2}b^{2}}$

$\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\geq ab$

$a^{2}+b^{2}\geq 2ab$

Terbukti

Untuk Latihan:

Pembahasann soal di atas bisa di download disini

2 komentar untuk "Ketaksamaan Rataan Kuadrat (QM), Rataan Aritmatika (AM), Rataan Geometri (GM) dan Rataan Harmonik (HM)"

Anonim 21 Februari 2019 pukul 11.23

mas, no. 2 penjelasannya yang gm itu hrsnya dikalikan, ya?

Anonim 28 September 2020 pukul 22.33

Tolong sih adsnya dikurangi, saya mau download pembahasan saja sampai nggak bisa. Balik terus ke page yang ads.

Kritik, saran atau koreksi silahkan isi kolom komentar