Memahami Teorema Stars and Bars: Pengantar dan Contoh Penerapannya

Apakah Anda pernah mendengar tentang "Teorema Stars and Bars"? Bagi sebagian orang, istilah ini mungkin terdengar asing atau bahkan sedikit menakutkan. Namun, sebenarnya, konsep ini adalah salah satu alat yang sangat berguna dalam matematika, terutama dalam kombinatorik.

Dalam artikel ini, kita akan menjelajahi apa yang dimaksud dengan Teorema Stars and Bars, bagaimana kita dapat memahaminya, dan bagaimana kita bisa menggunakan konsep ini dalam memecahkan berbagai masalah kombinatorik.

Apa itu Teorema Stars and Bars?

Teorema Stars and Bars adalah konsep dalam matematika kombinatorik yang digunakan untuk menghitung jumlah cara yang berbeda untuk mendistribusikan objek ke dalam kelompok. Konsep ini juga dikenal dengan istilah "Balls and Bins" atau "Bars and Stars". Istilah "stars and bars" merujuk pada notasi grafis yang digunakan untuk menjelaskan konsep ini.

Untuk memahami Teorema Stars and Bars, penting untuk memahami beberapa konsep dasarnya:

• Objek: Barang atau elemen yang akan didistribusikan ke dalam kelompok-kelompok.
• Kelompok: Setiap bagian atau wadah di mana objek tersebut akan ditempatkan.
• Batas: Simbol (|) yang memisahkan kelompok-kelompok.
• Bintang: Simbol (*) yang mewakili objek yang akan didistribusikan.

Pertama, mari kita bahas apa yang dimaksud dengan "stars" (bintang/*) dan "bars" (batang/pembatas). "Stars" mewakili objek yang akan didistribusikan, sedangkan "bars" adalah pembatas antara kelompok. Misalnya, jika kita memiliki empat objek (misalnya, bola) dan ingin mendistribusikannya ke dalam tiga kelompok, kita dapat menggunakan tiga "bars" sebagai pembatas antara kelompok. Jadi, misalnya, distribusi OO|O|OO akan berarti dua objek dalam kelompok pertama, satu objek dalam kelompok kedua, dan dua objek dalam kelompok ketiga.

Secara umum, teorema ini menyatakan:

Jika kita memiliki $n$ objek (bintang) yang akan didistribusikan ke dalam $k$ kelompok  dengan setiap kelompok dapat terisi jumlah objek yang berbeda atau mungkin kosong, maka jumlah cara yang berbeda untuk melakukan ini adalah:

$$\text{Banyak cara}= \binom{n+k-1}{k-1}$$

di mana $\binom{n}{r}$ merupakan simbol kombinasi.

$$ \binom{n}{r}=C^n_r=\frac{n!}{(n-r)!.r!}$$

Rumus ini mengasumsikan bahwa kita memperhitungkan distribusi di mana setiap kelompok dapat berisi nol objek. Ini disebabkan oleh penambahan $k-1$ "bars" sebagai pembatas di antara objek-objek tersebut. Dengan menggunakan "stars and bars", kita dapat menghitung berbagai distribusi yang mungkin dan menentukan jumlah cara yang berbeda untuk menyusun objek-objek tersebut ke dalam kelompok-kelompok yang sesuai.

Bagaimana Cara Memahaminya?

Memahami konsep Teorema Stars and Bars sebagian besar melibatkan pemahaman tentang bagaimana kita dapat memvisualisasikan dan mengorganisir distribusi objek ke dalam kelompok. Menggunakan notasi "stars and bars" dapat membantu kita memahami pola yang terlibat dalam berbagai skenario distribusi.

Salah satu kunci untuk memahami konsep ini adalah dengan memperhatikan bahwa jumlah objek (bintang) dan jumlah pembatas (bars) adalah tetap. Ini berarti kita dapat menghitung berapa banyak cara yang berbeda untuk menempatkan pembatas di antara bintang-bintang, yang pada gilirannya akan menentukan bagaimana objek didistribusikan.

Contoh Penerapannya

Berikut adalah beberapa contoh soal yang dapat dipecahkan dengan menggunakan Teorema Stars and Bars:

Contoh 1: Pembagian Bola ke dalam Kotak

Seorang pemain memiliki 10 bola identik dan ingin menempatkannya ke dalam 3 kotak yang berbeda. Berapa banyak cara yang mungkin untuk melakukan ini?

Solusi:

Untuk menyelesaikan masalah ini menggunakan Teorema Stars and Bars, kita dapat menganggap setiap kotak sebagai "batang" yang memisahkan bola-bola yang akan ditempatkan di dalamnya. Jumlah "bintang" yang akan ditempatkan di antara batang-batang ini akan menentukan jumlah bola di setiap kotak.

Dalam kasus ini, ada 10 bola yang harus ditempatkan ke dalam 3 kotak. Kita dapat menggunakan 2 batang untuk memisahkan bola-bola tersebut. Misalnya, jika kita menempatkan 2 batang di antara bola-bola, ini akan membagi bola-bola ke dalam 3 kelompok: kelompok di kotak pertama, kelompok di kotak kedua, dan kelompok di kotak ketiga.

Jadi, masalah ini dapat direduksi menjadi mencari berapa banyak cara kita dapat menempatkan 2 batang di antara 10 bola. Menurut Teorema Stars and Bars, jumlah cara yang mungkin untuk melakukan ini adalah kombinasi dari 12 objek (10 bola dan 2 batang), di mana 2 dari objek-objek tersebut adalah batang. Ini dinyatakan sebagai:

$\begin{align*}\text{Jumlah cara}&=\binom{10+2}{2}\\&=\binom{12}{2}\\&=\frac{12!}{(12-2)!\times 2!}\\&=\frac{12!}{10!\times 2!}\\&=\frac{12\times11}{2\times1}\\&=66\end{align*}$

Jadi, ada 66 cara yang mungkin untuk menempatkan 10 bola identik ke dalam 3 kotak yang berbeda.

Contoh 2: Pembagian Permen

Seorang ibu memiliki 8 permen yang berbeda dan ingin membaginya di antara 4 anaknya. Setiap anak harus menerima setidaknya satu permen. Berapa banyak cara yang mungkin untuk mendistribusikan permen ini?

Solusi:

Untuk menyelesaikan masalah ini menggunakan Teorema Stars and Bars, kita dapat memperlakukan permen-permen sebagai "bintang" dan anak-anak sebagai "batang" yang memisahkan permen-permen tersebut ke dalam kelompok-kelompok yang sesuai.

Dalam hal ini, ada 8 permen yang harus didistribusikan di antara 4 anak. Kita membutuhkan setidaknya satu permen untuk setiap anak, sehingga kita dapat menempatkan satu permen di setiap anak terlebih dahulu. Ini mengurangi jumlah permen yang tersedia menjadi 4 permen.

Sekarang, kita memiliki 4 permen yang tersisa dan 4 anak. Kita bisa menggunakan 3 batang untuk memisahkan permen-permen ini. Misalnya, jika kita menempatkan 3 batang di antara permen-permen tersebut, ini akan membagi permen-permen ke dalam 4 kelompok, masing-masing mewakili permen yang diberikan kepada masing-masing anak.

Jadi, jumlah cara yang mungkin untuk mendistribusikan permen ini adalah jumlah kombinasi dari 7 objek (4 permen dan 3 batang), di mana 3 dari objek-objek tersebut adalah batang. Ini dinyatakan sebagai:

$\begin{align*}\text{Jumlah cara}&=\binom{4+3}{3}\\&=\binom{7}{3}\\&=\frac{7!}{(7-3)!\times 3!}\\&=\frac{7!}{4!\times 3!}\\&=\frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}\\&=35\end{align*}$

Jadi, ada 35 cara yang mungkin untuk mendistribusikan 8 permen yang berbeda di antara 4 anak, dengan setiap anak menerima setidaknya satu permen.

Contoh 3: Penyusunan Barang di Rak

Sebuah toko memiliki 12 buah buku yang akan disusun di rak. Rak memiliki 5 bagian yang berbeda. Berapa banyak cara yang mungkin untuk menyusun buku-buku ini di rak?

Solusi:

Untuk menyelesaikan masalah ini menggunakan Teorema Stars and Bars, kita dapat memperlakukan buku-buku sebagai "bintang" yang akan disusun di antara "batang" yang mewakili bagian-bagian rak yang berbeda.

Dalam kasus ini, ada 12 buku yang harus disusun di antara 5 bagian rak. Kita dapat menggunakan 4 batang untuk memisahkan buku-buku tersebut ke dalam 5 kelompok. Misalnya, jika kita menempatkan 4 batang di antara buku-buku, ini akan membagi buku-buku ke dalam 5 bagian rak yang berbeda.

Jadi, jumlah cara yang mungkin untuk menyusun buku-buku di rak adalah jumlah kombinasi dari 16 objek (12 buku dan 4 batang), di mana 4 dari objek-objek tersebut adalah batang. Ini dinyatakan sebagai:

$\begin{align*}\text{Jumlah cara}&=\binom{12+4}{4}\\&=\binom{16}{4}\\&=\frac{16!}{(16-4)!\times 4!}\\&=\frac{16!}{12!\times 4!}\\&=\frac{16\times 15\times 14 \times 13}{4\times 3\times 2\times 1}\\&=18.480\end{align*}$

Jadi, ada 18.480 cara yang mungkin untuk menyusun 12 buku di rak yang memiliki 5 bagian yang berbeda.

Contoh 4: Distribusi Hadiah dalam Lomba

Dalam sebuah lomba, terdapat 15 hadiah yang akan didistribusikan kepada 5 pemenang. Setiap pemenang harus mendapatkan setidaknya satu hadiah. Berapa banyak cara yang mungkin untuk mendistribusikan hadiah-hadiah ini?

Solusi:

Untuk menyelesaikan masalah ini menggunakan Teorema Stars and Bars, kita dapat memperlakukan hadiah-hadiah sebagai "bintang" yang akan didistribusikan kepada para pemenang, dengan "batang" yang memisahkan antara hadiah-hadiah tersebut.

Dalam kasus ini, ada 15 hadiah yang akan didistribusikan kepada 5 pemenang. Karena setiap pemenang harus mendapatkan setidaknya satu hadiah, kita dapat memperlakukan setiap pemenang sebagai sebuah "batang" yang membagi hadiah-hadiah tersebut.

Kita harus memastikan bahwa setiap pemenang mendapatkan setidaknya satu hadiah. Oleh karena itu, kita dapat menganggap bahwa setiap pemenang telah mendapatkan satu hadiah sebelum mempertimbangkan penempatan sisa hadiah-hadiah tersebut.

Setelah setiap pemenang mendapatkan satu hadiah, kita memiliki 10 hadiah yang tersisa untuk didistribusikan di antara 5 pemenang. Kita dapat menggunakan Teorema Stars and Bars untuk menghitung jumlah cara yang mungkin untuk mendistribusikan hadiah-hadiah ini.

Jadi, jumlah cara yang mungkin untuk mendistribusikan hadiah-hadiah ini adalah jumlah kombinasi dari 14 objek (10 hadiah dan 4 batang), di mana 4 dari objek-objek tersebut adalah batang. Ini dinyatakan sebagai:

$\begin{align*}\text{Jumlah cara}&=\binom{10+4}{4}\\&=\binom{14}{4}\\&=\frac{14!}{(14-4)!\times 4!}\\&=\frac{14!}{10!\times 4!}\\&=\frac{14\times 13\times 12 \times 11}{4\times 3\times 2\times 1}\\&=1.001\end{align*}$

Jadi, ada 1001 cara yang mungkin untuk mendistribusikan 15 hadiah kepada 5 pemenang, dengan setiap pemenang mendapatkan setidaknya satu hadiah.

Penerapan dalam Berbagai Konteks

Teorema Stars and Bars memiliki banyak penerapan dalam berbagai konteks, termasuk:

• Kombinatorik Diskrit: Digunakan untuk menghitung jumlah solusi dari berbagai masalah pembagian dan kombinasi.
• Statistika: Penting dalam analisis statistika, terutama dalam masalah yang melibatkan distribusi berbagai objek.
• Ilmu Komputer: Diterapkan dalam algoritma dan pemodelan dalam ilmu komputer.

Kesimpulan

Teorema Stars and Bars adalah alat yang kuat dalam matematika kombinatorik yang memungkinkan kita untuk menghitung berbagai cara untuk mendistribusikan objek ke dalam kelompok. Dengan memahami konsep ini dan menggunakan notasi "stars and bars", kita dapat dengan mudah mengatasi berbagai masalah yang melibatkan distribusi objek. Semoga artikel ini membantu Anda memahami konsep ini dengan lebih baik dan memberi Anda kepercayaan untuk mengaplikasikannya dalam pemecahan masalah kombinatorik yang kompleks.

Denih Handayani - 28 Maret 2024