Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 No 9

Berikut ini pembahasan Olimpiade Sains Matematika (OSN) Matematika SMA Tahun 2017 Tingkat kabupaten/kota No 9.

Download Soal lengkap OSK Matematika SMA 2017 di sini.

Soal No 9:

Misalkan $a,b,c$ bilangan real positif yang memenuhi $a+b+c=1$. Nilai minimum dari $\frac{a+b}{abc}$ adalah ....

Pembahasan:

$a+b+c=1\Rightarrow a+b=1-c$

$\begin{align*}\frac{a+b}{abc}&=\frac{a}{abc}+\frac{b}{abc}\\&=\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\end{align*}$

dengan menggunakan ketaksamaan SC engel, (pelajari materi CS engel di sini)

$\begin{align*}\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}&\geq \frac{(1+1)^2}{bc+ac}\\&\geq \frac{2^2}{c(a+b)}\\&\geq\frac{4}{c(1-c)}\\&\geq\frac{4}{c-c^2}\end{align*}$

Bentuk $\frac{4}{c-c^2}$ akan minimum ketika penyebutnya maksimum.

dengan menggunakan turunan, kita akan menentukan nilai maksimum dari $c-c^2$

$\begin{align*}\text{turunan pertama}&=0\\1-2c&=0\\c&=\frac{1}{2}\end{align*}$

$\begin{align*}\frac{a+b}{abc}&\geq\frac{4}{c-c^2}\\&\geq\frac{4}{\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^2}\\&\geq\frac{4}{\frac{1}{4}}\\&\geq 16\end{align*}$

Jadi nilai minimum dari bentuk $\frac{a+b}{abc}$ dengan $a+b+c=1$ adalah $16$