Fungsi Floor dan Fungsi Ceiling

Misal $x$ adalah bilangan real, pastinya $x$ berada diantara dua bilangan bulat (integer). Fungsi floor dan ceiling memetakan bilangan real tersebut terhadap bilangan bulat terdekat. Biar lebih jelas mari kita bahas satu persatu.

Definisi Fungsi Floor (Floor Function) dan Fungsi Ceiling (Ceiling Function)

Fungsi Floor dari $x$ ditulis $\lfloor x \rfloor$, menyatakan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan $x$.

Fungsi Ceiling dari $x$ ditulis $\lceil x \rceil$, menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih dari atau sama dengan $x$.

Misal $x$ dan $y$ adalah bilangan real, $k$, $m$ dan $n$ adalah bilangan bulat, dan $\mathbb{Z}$ adalah himpunan bilangan bulat. Fungsi Floor dan Ceiling dapat didefinisikan sebagai berikut:

$\left \lfloor x \right \rfloor=max\left \{ m\in\mathbb{Z}\: |\: m\leq x \right \}$

$\left \lceil x \right \rceil=min\left \{ n\in\mathbb{Z}\: |\: n\geq x \right \}$

dimana:

$x-1 < m\leq x \leq n < n+1$

Masih belum faham?

Oke sederhanyanya gini deh, Fungsi floor membulatkan bilangan real $x$ ke bawah, dan fungsi ceiling membulatkan bilangan real $x$ ke atas. untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut:

$\lfloor 25,3 \rfloor = 25$

$\lceil 25,3 \rceil = 26$

$\lfloor -3,2 \rfloor = -4$

$\lceil -3,2 \rceil = -3$

fungsi floor dan ceiling ini sangat penting untuk dipelajari, penerapannya dalam matematika cukup banyak. Contohnya, pada materi yang pernah dibahas oleh m4th-lab mengenai cara menentukan banyaknya nol berurutan dari bialngan faktorial. pada materi tersebut kita perlu memahami fungsi floor. Atau bagi kalian para "petarung olimpiade", sangat penting juga memahami fungsi ini. berikut ini dua contoh soal olimpiade matematika yang memerlukan pemahaman fungsi floor dan ceiling:

Contoh 1

OSK SMP 2016

Misalkan $\lceil x \rceil$ menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan $x$. Jika 

$$x=\frac{2}{\frac{1}{1001}+\frac{1}{1002}+\frac{1}{1003}+\cdot+\frac{1}{1010}}$$

maka $\lceil x \rceil =$ ....

A. 35

B. 36

C. 37

D. 38

Pembahasan:

Nilai minimum untuk $x$ adalah:
$\begin{align*}x&=\frac{2}{\frac{1}{1001}+\frac{2}{1001}+\frac{3}{1001}+\cdots+\frac{10}{1001}}\\&=\frac{2}{\frac{55}{1001}}\\&=\frac{2002}{55}\\&=36,4\end{align*}$

Nilai maksimum untuk $x$ adalah:
$\begin{align*}x&=\frac{2}{\frac{1}{1010}+\frac{2}{1010}+\frac{3}{1010}+\cdots+\frac{10}{1010}}\\&=\frac{2}{\frac{55}{1010}}\\&=\frac{2020}{55}\\&=36,7\end{align*}$

maka $36,4 \leq x \leq 36,7$. 

dengan demikian $\left\lceil  x\right\rceil=37$

Contoh 2

OSK SMA 2013

Pada persamaan fungsi tangga berikut berlaku:

$$\left \lfloor \sqrt{\left \lfloor \sqrt{2012} \right \rfloor} \right \rfloor  = \left \lfloor \sqrt{\sqrt{2012}} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{k}{2012} \right \rfloor $$

Jika $\left \lfloor x \right \rfloor$ menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan $x$, maka nilai $k$ yang memenuhi adalah ....

Pembahasan:
$\begin{align*} \left \lfloor \sqrt{\left \lfloor \sqrt{2012} \right \rfloor} \right \rfloor&=\left \lfloor \sqrt{\sqrt{2012}} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{k}{2012} \right \rfloor\\ \left \lfloor \sqrt{\left \lfloor 44,... \right \rfloor} \right \rfloor&=\left \lfloor \sqrt{44,...} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{k}{2012} \right \rfloor\\ \left \lfloor \sqrt{44} \right \rfloor&=\left \lfloor 6,... \right \rfloor+\left \lfloor \frac{k}{2012} \right \rfloor\\ \left \lfloor 6,... \right \rfloor&=6+\left \lfloor \frac{k}{2012} \right \rfloor\\ 6&=6+\left \lfloor \frac{k}{2012} \right \rfloor\\ 0&=\left \lfloor \frac{k}{2012} \right \rfloor\\ 0\leq k < 2012\end{align*}$
$k=0,1,2,3,\cdots , 2011$

Jadi, nilai $k$ yang memenuhi adalah 0,1,2,3,..., 2011

Semoga Bermanfaat.