Cara Menentukan Asimtot Fungsi Rasional


Masih berkaitan dengan artikel sebelumnya, kali ini pun kita masih membahas tentang asimtot, lebih tepatnya asimtot pada fungsi rasional. Sebelum mempelajari materi ini, saya sarankan anda membaca artikel sebelumnya mengenai asimtot, atau klik pada link ini. 

Sebelum kita mulai materi bagaimana cara menentukan asimtot, mari kita paahami dulu beberapa istilah yang akan kita gunakan, yaitu: asimtot, fungsi rasional, dan hole.

Apa Itu Asimtot?
Asimtot adalah suatu garis yang terus didekati oleh suatu kurva (garis lengkung) sampai jauh takhingga.

Banyak yang mengartikan, "didekati" artinya sama sekali tidak pernah memotong, namun itu keliru. Kurva bisa juga memotong asimtotnya. Namun meskipun memotong, kurva tetap terus mendekati asimtot ke arah $+\infty$ atau $-\infty$. Biar lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:

Gamabar di atas, kurva mendekati asimtot ke arah $x$ menuju $-\infty$, kurva juga memotong asimtot pada $x$ positif, hal ini mungkin terjadi, karena definisi asimtot sendiri penekanannya adalah pada "kurva mendekati asimtot" bukan masalah memotong atau tidak memotong. 

Asimtot terbagi menjadi 4 jenis (bentuk) yaitu:

1. Asimtot datar (Horizontal Asymtote)

Asimtot datar adalah asimtot yang  sejajar atau berimpit dengan sumbu $x$.

2. Asimtot tegak (Vertical Asymtote)

Asimtot tegak adalah asimtot yang sejajar atau berimpit dengan sumbu $y$.

3. Asimtot miring (Slant Asymtote atau Oblique Asymtote)

Asimtot miring adalah asimtot yang tidak sejajar dengan sumbu $x$ maupun sumbu $y$.

4. Asimtot kurva (Curvilinear Asymtote)

Asimtot kurva adalah asimtot yang tidak berupa garis lurus, melainkan sebuah kurva (garis lengkung) 


Apa Itu Fungsi Rasional?

$f(x)$ dikatakan sebagai fungsi rasional jika memenuhi bentuk $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$ dengan $g(x)$ dan $h(x)$ merupakan polinomial. Atau dengan kata lain, fungsi rasional adalah fungsi yang berupa pecahan dengan penyebut dan pembilang berupa polinomial.


Apa Itu "Hole"?
Secara bahasa "hole" bisa kita terjemahkan sebagai "lubang", maksudnya adalah lubang secara grafis. Perhatikan grafik fungsi $f(x)=\frac{2x-4}{x^2-4}$ berikut:
Pada grafik fungsi $f(x)=\frac{2x-4}{x^2-4}$ di atas, hole (lubang) terbentuk ketika $x=2$, hal ini terjadi karena jika kita substitusikan $x=2$ ke dalam fungsi $f(x)=\frac{2x-4}{x^2-4}$, maka kita peroleh $f(2)=\frac{0}{0}$ seperti yang kita ketahui $\frac{0}{0}$ merupakan bentuk tak tentu.


$\begin{align*}f\left ( x \right )&=\frac{2x-4}{x^2-4}\\&=\frac{2(x-2)}{(x+2)(x-2)} \\&=\frac{2}{x+2}\hspace{2cm}\text{dengan }x\ne 2\end{align*}$


sekarang, coba perhatikan grafik $f(x)=\frac{2x-4}{x^2-4}$ di atas dengan grafik $f(x)=\frac{2}{x+2}$ berikut:

Ternyata, grafik $f(x)=\frac{2x-4}{x^2-4}$ dengan $f(x)=\frac{2}{x+2}$ identik, kecuali pada hole-nya.

Cara Menentukan Asimtot Tegak (Vertical Asymptotes)

Langkah-langakahnya adalah sebagai berikut:

  1. Faktorkan penyebut (dan pembilanganya jika memungkinkan)
  2. "coret" faktor yang sama pada penyebut dan pembilang. 
  3. Bagian penyebut yang kita coret  penyebab hole, dan yang tidak kita coret dari sanalah kita menemukan asimtot tegaknya.

Contoh 1:
Tentukan asimtot tegak dan hole pada fungsi $f(x)=\frac{2x^2-5x-12}{x^2-5x+4}$

Jawab:
$\begin{align*}f(x)&=\frac{2x^2-5x-12}{x^2-5x+4}\\&=\frac{(x-4)(2x+3)}{(x-4)(x-1)}\\&=\frac{2x+3}{x-1}, x\ne4\end{align*}$

Faktor yang sama pada pembilang dan penyebut adalah $x-4$, dengan demikian hole terjadi ketika $x=4$
Perhatikan penyebut pada baris terakhir, yaitu $x-1$. Penyebut bernilai nol ketika $x=1$, dengan demikian asimtot tegaknya adalah $x=1$.

Contoh 2:
tentukan asimtot tegak dan hole pada fungsi $f(x)=\frac{(3x+1)(x+4)}{(x-7)(x+4)}$.

Jawab:
Faktor yang sama pada pembilang dan penyebut adalah $x+4$, dengan demikian hole nya adalah $x=-4$
Perhatikan penyebut selain $(x+4)$, yaitu $x-7$, penyebut sama dengan nol ketika $x=7$ dengan demikian asimtot tegaknya adalah $x=7$.


Cara Menentukan Asimtot Datar, Asimtot Miring dan Asimtot Kurva.

Misal diketahui fungsi rasional: $$f(x)=\frac{ax^n+bx^{n-1}+cx^{n-2}+\cdots+k}{px^m+qx^{m-1}+rx^{m-2}+\cdots+z}$$
maka:

  1. Jika $n\lt m$, maka asimtot datarnya adalah $y=0$.
  2. Jika $n=m$, maka asimtot datarnya adalah $y=\frac{a}{p}$
  3. Jika $n>m$, maka asimtotnya berupa asimtot miring atau asimtot kurva.


Contoh 3:
Tentukan asimtot datar atau asimtot miring dari fungsi $f(x)=\frac{12x^5+4x^2+1}{3x^6+5x^3+12}$

Jawab:
Karena derajat (pangkat tertinggi) pembilang < derajat (pangkat tertinggi) penyebut, maka asimtot datarnya adalah $y=0$

Contoh 4:
Tentukan asimtot datar, asimtot miring atau asimtot kurva dari fungsi $f(x)=\frac{6x^3+2x^2+1}{3x^3+2x^2+2}$

Jawab:
Karena derajat (pangkat tertinggi) pembilang = derajat (pangkat tertinggi) penyebut, maka asimtot datarnya adalah $y=\frac{6}{3}=2$

Contoh 5:
Tentukan asimtot datar, asimtot miring atau asimtot kurva dari fungsi $f(x)=\frac{2x^3-3}{x^2-1}$

Jawab:
Karena derajat (pangkat tertinggi) pembilang > derajat (pangkat tertinggi) penyebut, asimtotnya berupa asimtot miring atau asimtot kurva, cara menentukannya adalah dengan melakukan pembagian polinomial, hasil baginya merupakan persamaan asimtot.

$f(x)=\frac{2x^3-3}{x^2-1}=2x+\frac{2x-3}{x^2-1}$
maka asimtot nya adalah $y=2x$ (asimtot miring dengan gradien 2)

Contoh 6:
Tentukan asimtot datar, asimtot miring atau asimtot kurva dari fungsi $f(x)=\frac{x^3+4x^2+4x+5}{x}$

Jawab:
$f(x)=\frac{x^3+4x^2+4x+5}{x}=x^2+4x+4+\frac{5}{x}$
maka asimtotnya adalah $y=x^2+4x+4$ (asimtot kurva)

Demikianlah cara menentukan asimtot dari fungsi rasional, semoga bermanfaat.



$\blacksquare$ Denih Handayani, 1 September 2017

Siapa saya? Tidak ada hal istimewa tentang saya. Seseorang yang masih haus ilmu, namun ingin memberi manfaat untuk banyak orang. FB : https://facebook.com/denih.alkhawarizmi

Artikel Terkait

Previous
Next Post »

Kritik, saran atau koreksi silahkan isi kolom komentar EmoticonEmoticon