Kumpulan\Rangkuman Rumus Trigonometri Lengkap




Pada postingan kali ini saya akan mencoba merangkum rumus-rumus trigonometri, jadi pada postingan ini pembahasan materi tidak begitu terperinci, dan tidak disertai dengan contoh, hanya berisi rangkuman rumus trigonometri sebagai "pegangan", mengingat rumus-rumus ini seringkali kita gunakan dalam berbagai bab/materi seperti turunan trigonometri, limit trigonometri, integral trigonometri, dan sebagainya.

Pengukuran sudut dengan derajat dan radian
Ada dua jenis satuan pengukuran sudut yaitu derajat dan radian. Derajat dinotasikan dengan $^\circ$. Satu derajat $=\frac{1}{360}$ sudut satu putaran, atau dengan kata lain :
$$\text{Satu putaran}=360^\circ$$
Sedangkan satu radian $=\frac{180^\circ}{\pi}$ atau dengan kata lain:
$$\pi\space\text{radian}=180^\circ$$
Umumnya dalam pengukuran sudut yang dinyatakan dengan satuan radian hanya ditulis $\pi$ saja, misal $\alpha=\frac{1}{3}\pi$ radian $=\frac{1}{3}\pi=60^\circ$

Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku
Perhatikan segitiga berikut:
Pada segitiga tersebut berlaku perbandingan trigonometri sebagai berikut:

$\sin{A}=\frac{a}{c}$

$\cos{A}=\frac{b}{c}$

$\tan{A}=\frac{a}{b}$

$\csc{A}=\frac{1}{\sin{A}}=\frac{c}{a}$

$\sec{A}=\frac{1}{\cos{A}}=\frac{c}{b}$

$\cot{A}=\frac{1}{\tan{A}}=\frac{b}{a}$


Nilai Trigonometri Sudut Istimewa

Berikut ini nilai trigonometri sudut-sudut istimewa pada kuadran I:
 $\alpha$
 $0^\circ$
$30^\circ$ 
$45^\circ$ 
 $60^\circ$
$90^\circ$ 
$\sin \alpha$
 $0$
$\frac{1}{2}$ 
$\frac{1}{2}\sqrt{2}$ 
$\frac{1}{2}\sqrt{3}$ 
$1$ 
$\cos \alpha$
 $1$
 $\frac{1}{2}\sqrt{3}$
$\frac{1}{2}\sqrt{2}$ 
$\frac{1}{2}$ 
 $0$
$\tan \alpha$
 $0$
 $\frac{1}{3}\sqrt{3}$
$1$ 
 $\sqrt{3}$
$-$ 
$\csc \alpha$
 $-$
 $2$
$\sqrt{2}$ 
 $\frac{2}{3}\sqrt{3}$
$1$ 
$\sec \alpha$
 $1$
 $\frac{2}{3}\sqrt{3}$
 $\sqrt{2}$
$2$ 
 $-$
$\cot \alpha$
 $-$
 $\sqrt{3}$
$1$ 
 $\frac{1}{3}\sqrt{3}$
 $0$

Identitas Trigonomteri
Berdasarkan definisi trigonometri, dapat diperoleh rumus-rumus identitas trigonometri sebagai berikut:

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha}$

$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}=\frac {\cos \alpha}{\sin \alpha}$


$\sec \alpha =\frac {1}{\cos \alpha}$


$\csc \alpha =\frac{1}{\sin \alpha}$


$\sin ^2\alpha+\cos^2\alpha=1$


$\tan ^2 \alpha +1=\sec^2 \alpha$


$\cot^2\alpha+1=\csc^2\alpha$



Sudut-sudut Berelasi

Rumus-rumus sudut berelasi dalam trigonometri 
 Pola $(k.90\pm\alpha)$ dengan $k$ bil. ganjil
 Pola $(k.90\pm\alpha)$ dengan $k$ bil. genap 
$\sin (90^\circ -\alpha )=\cos{\alpha}$
$\cos (90^\circ -\alpha)=\sin {\alpha}$
$\tan (90^\circ -\alpha)=\cot \alpha$

$\sin (90^\circ +\alpha )=\cos{\alpha}$
$\cos (90^\circ +\alpha)=-\sin {\alpha}$
$\tan (90^\circ +\alpha)=-\cot \alpha$

$\sin (270^\circ -\alpha )=-\cos{\alpha}$
$\cos (270^\circ -\alpha)=-\sin {\alpha}$
$\tan (270^\circ -\alpha)=\cot \alpha$

$\sin (270^\circ +\alpha )=-\cos{\alpha}$
$\cos (270^\circ +\alpha)=\sin {\alpha}$
$\tan (270^\circ +\alpha)=-\cot \alpha$
$\sin (180^\circ - \alpha)=\sin \alpha$
$\cos (180^\circ - \alpha)=-\cos\alpha$
$\tan (180^\circ - \alpha)=-\tan\alpha$

$\sin (180^\circ + \alpha)=-\sin \alpha$
$\cos (180^\circ + \alpha)=-\cos\alpha$
$\tan (180^\circ + \alpha)=\tan\alpha$


$\sin (360^\circ + \alpha)=-\sin \alpha$
$\cos (360^\circ + \alpha)=\cos\alpha$
$\tan (360^\circ + \alpha)=-\tan\alpha$

 Pola
$\sin \Rightarrow \cos$
$\cos \Rightarrow \sin$
$\tan \Rightarrow \cot$
 $\sin \Rightarrow \sin$
$\cos \Rightarrow \cos$
$\tan \Rightarrow \tan$
 Tanda $+$ dan $-$ berdasarkan letak kuadrannya



Trigonometri untuk Penjumlahan Sudut
Berikut ini rumus-rumus trigonometri untuk penjumlahan dan pengurangan sudut:

$\sin {(A+B)}=\sin A \cos B + \cos A \sin B$

$\sin {(A-B)}=\sin A \cos B - \cos A \sin B$

$cos {(A+B)}=\cos A \cos B -\sin A \sin B$

$\cos {(A-B)}=\cos A \cos B + \sin A \sin B$

$\tan (A+B)=\frac{\tan A + \tan B}{1-\tan A \tan B}$

$\tan (A-B)=\frac{\tan A -\tan B}{1+\tan A \tan B}$

Trigonometri Sudut Rangkap Dua
Sudut rangkap merupakan penjumlahan dua sudut yang sama, misalnya $2A=A+A$. Rumus trigonometri untuk sudut rangkap dua diberikan sebagai berikut:


$\sin 2A=2 \sin A \cos A$

$\begin{align*}\cos 2A&=\cos^2A-\sin^2 A\\&=2\cos^2A-1\\&=1-2\sin^2A\end{align*}$

$\begin{align*}\tan 2A&=\frac{2\tan A}{1-\tan^2 A}\\&=\frac{2\cot{A}}{\cot^2{A}-1}\\&=\frac{2}{\cot{A}-\tan{A}}\end{align*}$


Trigonometri Sudut Rangkap Tiga


Sudut rangkap merupakan penjumlahan tiga sudut yang sama, misalnya $3A=A+A+A$. Rumus trigonometri untuk sudut rangkap tiga diberikan sebagai berikut:

$\sin{3A}=3\sin{A}-4\sin^3{A}$

$\cos{3A}=4\cos^3{A}-3\cos{A}$

Rumus Setengah Sudut
Berikut ini rumus trigonometri setengah sudut:
$\sin{\frac{1}{2}A}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{A}}{2}}$

$\cos{\frac{1}{2}A}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos{A}}{2}}$

$\begin{align*}\tan{\frac{1}{2}A}&=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{A}}{1+\cos{A}}}\\&=\frac{\sin{A}}{1+\cos{A}}\\&=\frac{1-\cos{A}}{\sin{A}}\end{align*}$

Rumus-rumus Penjumlahan Trigonometri
Berikut ini rumus-rumus penjumlahan dalam trigonometri:

$\sin A +\sin B=2\sin \frac{1}{2}(A+B)\cos \frac{1}{2}(A-B)$

$\sin A -\sin B=2\cos \frac{1}{2}(A+B)\sin \frac{1}{2}(A-B)$

$\cos A+\cos B=2\cos \frac{1}{2}(A+B)\cos \frac{1}{2}(A-B)$

$\cos A-\cos B=-2\sin \frac{1}{2}(A+B)\sin \frac{1}{2}(A-B)$



Rumus-rumus Perkalian Trigonometri
Berikut ini rumus-rumus perkalian dalam trigonometri:

$2\sin{A}\cos{A}=\sin{(A+B)}+\sin{(A-B)}$

$2\cos{A}\sin{B}=\sin{(A+B)}-\sin{(A-B)}$

$2\cos{A}\cos{B}=\cos{(A+B)}+\cos{(A-B)}$

$-2\sin{A}\sin{B}=\cos{(A+B)}-\cos{(A-B)}$




Persamaan Trigonometri

Berikut ini bentuk persamaan trigonometri beserta penyelesaiannya

 Persamaan
 Penyelesaian
$\sin{x} =\sin{a^\circ}$


$\cos{x}=\cos{a^\circ}$

$\tan{x}=\tan{a^\circ}$
$x=a^\circ+k\times360^\circ$ atau $x=(180-a)^\circ+k\times360^\circ$

$x=\pm a^\circ+k\times 360^\circ$

$x=a^\circ +k\times 180^\circ$


Aturan Trigonometri dalam Segitiga
Dalam suatu segitiga sembarang dapat dirumuskan beberapa aturan trigonometri, aturan tersebut berkaitan dengan panjang sisi dan besar sudut segitiga. berikut ini disajikan rumusan beberapa aturan tersebut:

1. Aturan sinus
Pada segitiga $ABC$ berlaku:
$\frac{A}{\sin A}=\frac{B}{\sin B}=\frac{C}{\sin C}$

2. Aturan cosinus
pada segitiga $ABC$ berlaku:
$a^2=b^2+c^2-2bc \cos A$
$b^2=a^2+c^2-2ac \cos B$
$c^2=a^2+b^2-2ab \cos C$

3. Luas segitiga
Luas segitiga $ABC$:
$L=\frac{1}{2}bc \sin A$
$L=\frac{1}{2}ab \sin C$
$L=\frac{1}{2}ac \sin B$

$\blacksquare$ Denih Handayani, 1 Agustus 2017

Siapa saya? Tidak ada hal istimewa tentang saya. Seseorang yang masih haus ilmu, namun ingin memberi manfaat untuk banyak orang. FB : https://facebook.com/denih.alkhawarizmi

Artikel Terkait

Previous
Next Post »

Kritik, saran atau koreksi silahkan isi kolom komentar EmoticonEmoticon