Beberapa Cara Menentukan Nilai Eksak Fungsi Trigonometri Sudut Istimewa $15^\circ$ dan $75^\circ$
Sumber gambar: Pak Sulaeman (http://menulislatex.blogspot.com)
Entah kenapa akhir-akhir ini begitu suka dengan Trigonometri, dan postingan kali inipun masih seputar trigonometri, semoga tidak membuat sahabat-sahabat bosan mampir ke blog ini 😅.
Soal-soal berkaitan dengan Trigonometri, kebanyakan sudut yang digunakan merupakan sudut istimewa baik dalam satuan derajat, ataupun radian, Jika sudut yang digunakan adalah $0^\circ$, $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$ atau $90^\circ$ saya percaya sahabat-sahabat bisa mengerjakannya dengan mudah, namun bagaimana jika ternyata sudut yang digunakan adalah $15^\circ$ atau $75^\circ$?, gak boleh pake kalkulator ya... 😁
Nah, tulisan saya kali ini akan membahas hal tersebut, bagaimana cara menentukan nilai eksak dari fungsi trigonometri sudut istimewa $15^\circ$ dan $75^\circ$. Saya akan mencoba menyajikan beberapa cara, jadi silakan sahabat-sahabat "rasakan" sendiri cara mana yang dirasa paling mudah, baiklah berikut ini beberapa cara menentukan nilai eksak dari fungsi trigonometri sudut istimewa $15^\circ$ dan $75^\circ$:
Cara pertama yang akan kita coba adalah menggunakan rumus selisih dan jumlah sudut, rumus yang dimaksud adalah sebagai berikut:
$$\boxed{\begin{align*}\sin{(A-B)}&=\sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B}\\ \sin{(A+B)}&=\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}\\ \cos{(A-B)}&=\cos{A}\cos{B}+\sin{A}\sin{B}\\ \cos{(A+B)}&=\cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}\\ \tan{(A-B)}&=\frac{\tan{A}-\tan{B}}{1+\tan{A}\tan{B}}\\ \tan{(A+B)}&=\frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}\end{align*}}$$
Menentukan nilai $\sin{15^\circ}$
Untuk menentukan nilai eksak dari $\sin{15^\circ}$, yang akan kita gunakan adalah rumus selisih sudut sinus :$$\boxed{\sin{(A-B)}=\sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B}}$$
$\begin{align*}\sin{15^\circ}&=\sin{\left(45^\circ-30^\circ\right)}\\&=\sin{45^\circ}\cos{30^\circ}-\cos{45^\circ}\sin{30^\circ}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\\&= \frac{1}{4}\sqrt{6}-\frac{1}{4}\sqrt{2}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\end{align*}$
Menentukan nilai $\cos{15^\circ}$
Untuk menentukan nilai eksak dari $\cos{15^\circ}$, yang akan kita gunakan adalah rumus selisih sudut cosinus: $$\boxed{\cos{(A-B)}=\cos{A}\cos{B}+\sin{A}\sin{B}}$$
$\begin{align*}\cos{15^\circ}&=\cos{(45^\circ-30^\circ)}\\ &=\cos{45^\circ}\cos{30^\circ}+\sin{45^\circ}\sin{30^\circ}\\ &=\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}\sqrt{2}.\sqrt{30^\circ}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{6}+\frac{1}{4}\sqrt{2}\\&=\frac{1}{4}{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)}\end{align*}$
Menentukan nilai $\tan{15^\circ}$
Untuk menentukan nilai eksak dari $\tan{15^\circ}$, yang akan kita gunakan adalah rumus selisih sudut tangen:
$$\boxed{\tan{(A-B)}=\frac{\tan{A}-\tan{B}}{1+\tan{A}\tan{B}}}$$
$\begin{align*}\tan{15^\circ}&=\tan{(45^\circ-30^\circ)}\\&=\frac{\tan{45^\circ}-\tan{30^\circ}}{1+\tan{45^\circ}\tan{30^\circ}}\\&=\frac{1-\frac{1}{3}\sqrt{3}}{1+1.\frac{1}{3}\sqrt{3}}\\&=\frac{\frac{3-\sqrt{3}}{3}}{\frac{3+\sqrt{3}}{3}}\\&=\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\times \frac{3-\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}\\&=\frac{12-6\sqrt{3}}{6}\\&=2-\sqrt{3}\end{align*}$
Menentukan $\sin{75^\circ}$
Untuk menentukan nilai eksak dari $\sin{75^\circ}$, yang akan kita gunakan adalah rumus jumlah sudut. $$\boxed{\sin{(A+B)}=\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}}$$
$\begin{align*}\sin{75^\circ}&=\sin{(45^\circ+30^\circ)}\\&=\sin{45^\circ}\cos{30^\circ}+\cos{45^\circ}\sin{30^\circ}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{6}+\frac{1}{4}\sqrt{2}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\end{align*}$
Menentukan $\cos{75^\circ}$
Untuk menentukan nilai eksak dari $\cos{75^\circ}$, yang akan kita gunakan adalah rumus jumlah sudut cosinus.$$\boxed{\cos{(A+B)}=\cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}}$$
$\begin{align*}\cos{75^\circ}&=\cos{(45^\circ+30^\circ)}\\&=\cos{45^\circ}\cos{30^\circ}-\sin{45^\circ}\sin{30^\circ}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{6}-\frac{1}{4}\sqrt{2}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\end{align*}$
Cara kedua yang akan kita coba adalah menggunakan rumus trigonometri setengah sudut, rumus yang dimaksud adalah sebagai berikut:
$$\boxed{\sin{\frac{1}{2}A}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{A}}{2}}\\ \cos{\frac{1}{2}A=\pm\sqrt{\frac{1+\cos{A}}{2}}}\\ \tan{\frac{1}{2}A}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{A}}{1+\cos{A}}}}$$
Menentukan nilai $\sin{15^\circ}$
$\begin{align*}\sin{15^\circ}&=\sqrt{\frac{1-\cos{30^\circ}}{2}}\\&=\sqrt{\frac{1-\frac{1}{2}\sqrt{3}}{2}}\\&=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}\\&=\sqrt{\frac{8-4\sqrt{3}}{16}}\\&=\sqrt{\frac{8-2\sqrt{12}}{16}}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{8-2\sqrt{12}}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\end{align*}$
Menentukan nilai $\cos{15^\circ}$
$\begin{align*}\cos{15^\circ}&=\sqrt{\frac{1+\cos{30^\circ}}{2}}\\&=\sqrt{\frac{1+\frac{1}{2}\sqrt{3}}{2}}\\&=\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4}}\\&=\sqrt{\frac{8+4\sqrt{3}}{16}}\\&=\sqrt{\frac{8+2\sqrt{12}}{16}}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{8+2\sqrt{12}}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\end{align*}$
Menentukan nilai $\tan{15^\circ}$
$\begin{align*}\tan{15^\circ}&=\sqrt{\frac{1-\cos{30^\circ}}{1-\cos{30^\circ}}}\\&=\sqrt{\frac{1-\frac{1}{2}\sqrt{3}}{1+\frac{1}{2}\sqrt{3}}}\\&=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}\\&=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\times\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}\\&=\sqrt{\frac{(2-\sqrt{3})^2}{4-3}}\\&=2-\sqrt{3}\end{align*}$
Untuk sudut $75^\circ$ silahkan coba sendiri ya 😁
Bagaimana menurut sahabat-sahabat kedua cara tersebut? mudah kan?
Mau cara yang lebih mudah?
ya, tentu saja ada (meskipun mudah/sulit itu relatif), jika sehabat-sahabat tidak mengetahui (lupa) dengan "rumus jumlah sudut" dan "rumus setengah sudut", alternatif lain dalam menentukan nilai eksak fungsi trigonometri sudut $15^\circ$ dan $75^\circ$ kita bisa menentukannya secara geometri, penasaran? langsung saja klik link ini
Cara 1: Menggunakan Rumus Selisih dan Jumlah Sudut
$$\boxed{\begin{align*}\sin{(A-B)}&=\sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B}\\ \sin{(A+B)}&=\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}\\ \cos{(A-B)}&=\cos{A}\cos{B}+\sin{A}\sin{B}\\ \cos{(A+B)}&=\cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}\\ \tan{(A-B)}&=\frac{\tan{A}-\tan{B}}{1+\tan{A}\tan{B}}\\ \tan{(A+B)}&=\frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}\end{align*}}$$
Rumus Trigonometri lengkap lihat klik link ini
Untuk menentukan nilai eksak dari $\sin{15^\circ}$, yang akan kita gunakan adalah rumus selisih sudut sinus :$$\boxed{\sin{(A-B)}=\sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B}}$$
$\begin{align*}\sin{15^\circ}&=\sin{\left(45^\circ-30^\circ\right)}\\&=\sin{45^\circ}\cos{30^\circ}-\cos{45^\circ}\sin{30^\circ}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\\&= \frac{1}{4}\sqrt{6}-\frac{1}{4}\sqrt{2}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\end{align*}$
Menentukan nilai $\cos{15^\circ}$
Untuk menentukan nilai eksak dari $\cos{15^\circ}$, yang akan kita gunakan adalah rumus selisih sudut cosinus: $$\boxed{\cos{(A-B)}=\cos{A}\cos{B}+\sin{A}\sin{B}}$$
$\begin{align*}\cos{15^\circ}&=\cos{(45^\circ-30^\circ)}\\ &=\cos{45^\circ}\cos{30^\circ}+\sin{45^\circ}\sin{30^\circ}\\ &=\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}\sqrt{2}.\sqrt{30^\circ}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{6}+\frac{1}{4}\sqrt{2}\\&=\frac{1}{4}{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)}\end{align*}$
Menentukan nilai $\tan{15^\circ}$
Untuk menentukan nilai eksak dari $\tan{15^\circ}$, yang akan kita gunakan adalah rumus selisih sudut tangen:
$$\boxed{\tan{(A-B)}=\frac{\tan{A}-\tan{B}}{1+\tan{A}\tan{B}}}$$
$\begin{align*}\tan{15^\circ}&=\tan{(45^\circ-30^\circ)}\\&=\frac{\tan{45^\circ}-\tan{30^\circ}}{1+\tan{45^\circ}\tan{30^\circ}}\\&=\frac{1-\frac{1}{3}\sqrt{3}}{1+1.\frac{1}{3}\sqrt{3}}\\&=\frac{\frac{3-\sqrt{3}}{3}}{\frac{3+\sqrt{3}}{3}}\\&=\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\times \frac{3-\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}\\&=\frac{12-6\sqrt{3}}{6}\\&=2-\sqrt{3}\end{align*}$
Menentukan $\sin{75^\circ}$
Untuk menentukan nilai eksak dari $\sin{75^\circ}$, yang akan kita gunakan adalah rumus jumlah sudut. $$\boxed{\sin{(A+B)}=\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}}$$
$\begin{align*}\sin{75^\circ}&=\sin{(45^\circ+30^\circ)}\\&=\sin{45^\circ}\cos{30^\circ}+\cos{45^\circ}\sin{30^\circ}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{6}+\frac{1}{4}\sqrt{2}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\end{align*}$
Menentukan $\cos{75^\circ}$
Untuk menentukan nilai eksak dari $\cos{75^\circ}$, yang akan kita gunakan adalah rumus jumlah sudut cosinus.$$\boxed{\cos{(A+B)}=\cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}}$$
$\begin{align*}\cos{75^\circ}&=\cos{(45^\circ+30^\circ)}\\&=\cos{45^\circ}\cos{30^\circ}-\sin{45^\circ}\sin{30^\circ}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{6}-\frac{1}{4}\sqrt{2}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\end{align*}$
Menentukan $\tan{75^\circ}$
Untuk menentukan nilai eksak dari $\tan{75^\circ}$, yang akan kita gunakan adalah rumus jumlah sudut tangen:$$\boxed{\tan{(A+B)}=\frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}}$$
$\begin{align*}\tan{75^\circ}&=\tan{(45^\circ+30^\circ)}\\&=\frac{\tan{45^\circ}+\tan{30^\circ}}{1-\tan{45^\circ}\tan{30^\circ}}\\&=\frac{1+\frac{1}{3}\sqrt{3}}{1-\frac{1}{3}\sqrt{3}}\\&=\frac{\frac{3+\sqrt{3}}{3}}{\frac{3-\sqrt{3}}{3}}\\&=\frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}\times\frac{3+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\\&=\frac{12+6\sqrt{3}}{6}\\&=2+\sqrt{3}\end{align*}$
Cara 2: Menggunakan Rumus Trigonometri Setengah Sudut
$$\boxed{\sin{\frac{1}{2}A}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{A}}{2}}\\ \cos{\frac{1}{2}A=\pm\sqrt{\frac{1+\cos{A}}{2}}}\\ \tan{\frac{1}{2}A}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{A}}{1+\cos{A}}}}$$
Menentukan nilai $\sin{15^\circ}$
$\begin{align*}\sin{15^\circ}&=\sqrt{\frac{1-\cos{30^\circ}}{2}}\\&=\sqrt{\frac{1-\frac{1}{2}\sqrt{3}}{2}}\\&=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}\\&=\sqrt{\frac{8-4\sqrt{3}}{16}}\\&=\sqrt{\frac{8-2\sqrt{12}}{16}}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{8-2\sqrt{12}}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\end{align*}$
Menentukan nilai $\cos{15^\circ}$
$\begin{align*}\cos{15^\circ}&=\sqrt{\frac{1+\cos{30^\circ}}{2}}\\&=\sqrt{\frac{1+\frac{1}{2}\sqrt{3}}{2}}\\&=\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4}}\\&=\sqrt{\frac{8+4\sqrt{3}}{16}}\\&=\sqrt{\frac{8+2\sqrt{12}}{16}}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{8+2\sqrt{12}}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\end{align*}$
Menentukan nilai $\tan{15^\circ}$
$\begin{align*}\tan{15^\circ}&=\sqrt{\frac{1-\cos{30^\circ}}{1-\cos{30^\circ}}}\\&=\sqrt{\frac{1-\frac{1}{2}\sqrt{3}}{1+\frac{1}{2}\sqrt{3}}}\\&=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}\\&=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\times\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}\\&=\sqrt{\frac{(2-\sqrt{3})^2}{4-3}}\\&=2-\sqrt{3}\end{align*}$
Untuk sudut $75^\circ$ silahkan coba sendiri ya 😁
Bagaimana menurut sahabat-sahabat kedua cara tersebut? mudah kan?
Mau cara yang lebih mudah?
ya, tentu saja ada (meskipun mudah/sulit itu relatif), jika sehabat-sahabat tidak mengetahui (lupa) dengan "rumus jumlah sudut" dan "rumus setengah sudut", alternatif lain dalam menentukan nilai eksak fungsi trigonometri sudut $15^\circ$ dan $75^\circ$ kita bisa menentukannya secara geometri, penasaran? langsung saja klik link ini
Kesimpulan
$\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)$
|
||
$\cos{\alpha}$
|
$\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)$
|
|
$2-\sqrt{3}$
|
Posting Komentar untuk "Beberapa Cara Menentukan Nilai Eksak Fungsi Trigonometri Sudut Istimewa $15^\circ$ dan $75^\circ$"
Kritik, saran atau koreksi silahkan isi kolom komentar