Teorema Binomial


Masih ingat dengan Kombinasi pada materi Kombinatorik? yups, pada kombinatorik telah diketahui bahwa kombinasi adalah banyaknya cara mengambil $r$ objek dari sekumpulan $n$ objek tanpa memperhatikan urutan, dapat ditulis:

$$C(n, r)=\frac{n!}{(n-r)!r!}$$
namun, dalam ekspansi binomial, kombinasi ini sering dilambangkan dengan:
$$\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix}=\frac{n!}{\left ( n-r \right )!r!}$$
disebut sebagai koefisien binomial, karena menyatakan koefisien-koefisien setiap suku pada hasil penjabaran binomial.

untuk lebih memahaminya, perhatikan penjelasan berikut.
seandainya kita mencoba menjabarkan bentuk $(x+y)^n$, dengan $n$ bilangan bulat positif, kita perhatikan bahwa bentuk ini dapat kita tuliskan sebagai perkalian sebanyak $n$ faktor dari $(x+y)$. Untuk membentuk suatu suku pada hasil perkalian ini, kita harus memilih salah satu dari $x$ atau $y$ dari masing-masing faktor. Dengan kata lain, sebagian faktor menyumbangkan $x$ dan sebagian lagi menyumbangkan $y$. Banyaknya faktor yang menyumbangkan $y$ merupakan suatu bilangan bulat, misal $r$ dengan $0\leq r\leq n$, dan faktor yang tersisa yaitu sebanyak $n-r$ menyumbangkan $x$, sehingga membentuk suku $x^{n-r}y^{r}$, oleh karena itu, banyaknya suku yang berbentuk  $x^{n-r}y^{r}$ ini sama dengan banyaknya cara kita memilih sejumlah $r$ variabel variabel $y$ dari $n$ variabel $y$ yang tersedia pada setiap faktor. Jadi, koefisien $x^{n-r}y^{r}$ adalah $\binom{n}{r}$
Oleh karena itu, bentuk $(x+y)^{n}$ dapat kita tulis dalam bentuk ekspansi sebagai berikut:$$(x+y)^n=\binom{n}{0}x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}y+\binom{n}{2}x^{n-2}y^2+...+\binom{n}{n}y^n$$
inilah yang disebut dengan teorema binomial.

Teorema Binomial:
Misalakan $x$ dan $y$ adalah variabel, dan $n$ adalah bilangan bulat positif,  maka:
$$(x+y)^n=\binom{n}{0}x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}y+\binom{n}{2}x^{n-2}y^2+...+\binom{n}{n}y^n$$
atau dapat pula di tulis:
$$(x+y)^n=\sum_{r=0}^n \binom{n}{r}{x^{n-r}y^r}$$

Contoh 1:
Ekspansikan binomial $(x+2y)^4$

Jawab:
$\begin{align*}(x+2y)^4&=\binom{4}{0}x^4+\binom{4}{1}x^3(2y)+\binom{4}{2}x^2(2y)^2+\binom{4}{3}x(2y)^3+\binom{4}{4}(2y)^4\\&=x^4+4x^3(2y)+6x^2(2y)^2+4x(2y)^3+(2y)^4\\&=x^4+8x^3y+6x^2(4y^2)+4x(8y^3)+16y^4\\&=x^4+8x^3y+24x^2y^2+32xy^3+16y^4\end{align*}$

Contoh 2:
Ekspansikan binomial $(2x-y)^3$

Jawab:
$\begin{align*}(2x-y)^3&=\left( 2x+(-y)\right)^3\\&=\binom{3}{0}(2x)^3+\binom{3}{1}(2x)^2(-y)+\binom{3}{2}(2x)(-y)^2+\binom{3}{3}(-y)^3\\&=(2x)^3+3(2x)^2(-y)+3(2x)(-y)^2+(-y)^3\\&=8x^3+3(4x^2)(-y)+3(2x)(y^2)-y^3\\&=8x^3-12x^2y+6xy^2-y^3\end{align*}$


Menentukan Suku Dan Koefisien Binomial
Dari formula binomial :
$$(x+y)^n=\sum_{r=0}^n \binom{n}{r}{x^{n-r}y^r}$$
suku ke $k$ dari hasil penjabarannya dapat ditentukan sebagai berikut:
$$\boxed{\binom{n}{k-1}x^{n-(k-1)}y^{(k-1)}}$$

Sekarang kembali perhatikan contoh 1 di atas, bentuk $(x+2y)^4$ setelah kita jabarkan, kita peroleh:$$(x+2y)^4=x^4+8x^3y+24x^2y^2+32xy^3+16y^4$$
Suku-suku pada ekspansi binomial $(x+2y)^4$ adalah :
suku ke-1: $x^4$ dengan koefisien $1$
suku ke-2 : $8x^3y$ dengan koefisien $8$
suku ke-3 : $24x^2y^2$ dengan koefisien $24$
suku ke-4 : $32xy^3$ dengan koefisien $32$
suku ke-5 : $16y^4$ dengan koefisien $16$

Jika kita ingin menentukan suku tertentu saja, kita tidak perlu menjabarkan secara keseluruhan, namun kita cukup menggunakan formula yang telah diberikan di atas. Misal, kita akan menentukan suku ke-3 dari $(x+2y)^4$:
$\begin{align*}\binom{n}{k-1}x^{n-(k-1)}(2y)^{(k-1)}&=\binom{4}{3-1}x^{4-(3-1)}(2y)^{(3-1)}\\&=\binom{4}{2}x^2(2y)^2\\&=6x^2.4y^2\\&=24x^2y^2\end{align*}$

Contoh 3:
Tentukan suku ke-$3$ dari $(2x-3y)^5$ dan tentukan nilai koefisiennya

Jawab:
Suku ke-3 artinya $k=3$
$\begin{align*}\binom{n}{k-1}(2x)^{5-(3-1)}(-3y)^{(3-1)}&=\binom{5}{2}(2x)^{3}(-3y)^2\\&=10(8x^3)(9y^2)\\&=720x^3y^2\end{align*}$
Jadi suku ke-3 dari $(2x-3y)^5$ adalah $720x^3y^2$ dengan nilai koefisien $720$


Contoh 4:
Tentukan koefisien $x^2$ dari hasil ekspansi $(3x-2)^9$ dan tentukan pada suku ke berapa suku tersebut berada

Jawab:
$x^2=x^{9-(k-1)}\rightarrow 2=10-k\rightarrow k=8$

$\begin{align*}\binom{9}{8-1}(3x)^{9-(8-1)}(-2)^{(8-1)}&=\binom{9}{7}(3x)^2(-2)^7\\&=36(9x^2)(-128)\\&=-41472x^2\end{align*}$

Jadi, pada ekspansi $(3x-2)^9$, $x^2$ terletak pada suku ke 8 dengan nilai koefisien $-41.472$.

Contoh 5:
Tentukan koefisien $x^4$ dari hasil ekspansi $\left (2x^2+\frac{1}{\sqrt{x}} \right )^7$

Jawab:

$(2x^2+\frac{1}{\sqrt{x}})^7=(2x^2+x^{-\frac{1}{2}})^7$
maka:
$\begin{align*}(x^2)^{7-(k-1)}\left (x^{-\frac{1}{2}}\right )^{k-1}&=x^4\\(x^2)^{8-k}x^{-\frac{1}{2}k+\frac{1}{2}}&=x^4\\x^{16-2k}x^{-\frac{1}{2}k+\frac{1}{2}}&=x^4\\x^{\frac{33-5k}{2}}&=x^4\end{align*}$

$\frac{33-5k}{2}=4\rightarrow k=5$

$\begin{align*}\binom{7}{5-1}(2x^2)^{7-(5-1)}(x^{-\frac{1}{2}})^{5-1}&=\binom{7}{4}(2x^2)^3x^{-2}\\&=35(8x^6)(x^{-2})\\&=280x^4\end{align*}$

Jadi, koefisien $x^4$ adalah $280$.



$\blacksquare$ Denih Handayani, 2017 Save as Pdf

Siapa saya? Tidak ada hal istimewa tentang saya. Seseorang yang masih haus ilmu, namun ingin memberi manfaat untuk banyak orang.

Artikel Terkait

Previous
Next Post »

Kritik, saran atau koreksi silahkan isi kolom komentar EmoticonEmoticon