Teorema Binomial

Masih ingat dengan Kombinasi pada materi Kombinatorik? yups, pada kombinatorik telah diketahui bahwa kombinasi adalah banyaknya cara mengambil $r$ objek dari sekumpulan $n$ objek tanpa memperhatikan urutan, dapat ditulis:

$$C(n, r)=\frac{n!}{(n-r)!r!}$$

namun, dalam ekspansi binomial, kombinasi ini sering dilambangkan dengan:

$$\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix}=\frac{n!}{\left ( n-r \right )!r!}$$

disebut sebagai koefisien binomial, karena menyatakan koefisien-koefisien setiap suku pada hasil penjabaran binomial.

untuk lebih memahaminya, perhatikan penjelasan berikut.

seandainya kita mencoba menjabarkan bentuk $(x+y)^n$, dengan $n$ bilangan bulat positif, kita perhatikan bahwa bentuk ini dapat kita tuliskan sebagai perkalian sebanyak $n$ faktor dari $(x+y)$. Untuk membentuk suatu suku pada hasil perkalian ini, kita harus memilih salah satu dari $x$ atau $y$ dari masing-masing faktor. Dengan kata lain, sebagian faktor menyumbangkan $x$ dan sebagian lagi menyumbangkan $y$. Banyaknya faktor yang menyumbangkan $y$ merupakan suatu bilangan bulat, misal $r$ dengan $0\leq r\leq n$, dan faktor yang tersisa yaitu sebanyak $n-r$ menyumbangkan $x$, sehingga membentuk suku $x^{n-r}y^{r}$, oleh karena itu, banyaknya suku yang berbentuk  $x^{n-r}y^{r}$ ini sama dengan banyaknya cara kita memilih sejumlah $r$ variabel variabel $y$ dari $n$ variabel $y$ yang tersedia pada setiap faktor. Jadi, koefisien $x^{n-r}y^{r}$ adalah $\binom{n}{r}$

Oleh karena itu, bentuk $(x+y)^{n}$ dapat kita tulis dalam bentuk ekspansi sebagai berikut:$$(x+y)^n=\binom{n}{0}x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}y+\binom{n}{2}x^{n-2}y^2+...+\binom{n}{n}y^n$$

inilah yang disebut dengan teorema binomial.

Teorema Binomial:
Misalakan $x$ dan $y$ adalah variabel, dan $n$ adalah bilangan bulat positif,  maka:
$$(x+y)^n=\binom{n}{0}x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}y+\binom{n}{2}x^{n-2}y^2+...+\binom{n}{n}y^n$$
atau dapat pula di tulis:
$$(x+y)^n=\sum_{r=0}^n \binom{n}{r}{x^{n-r}y^r}$$

Contoh 1:
Ekspansikan binomial $(x+2y)^4$

Jawab:
$\begin{align*}(x+2y)^4&=\binom{4}{0}x^4+\binom{4}{1}x^3(2y)+\binom{4}{2}x^2(2y)^2+\binom{4}{3}x(2y)^3+\binom{4}{4}(2y)^4\\&=x^4+4x^3(2y)+6x^2(2y)^2+4x(2y)^3+(2y)^4\\&=x^4+8x^3y+6x^2(4y^2)+4x(8y^3)+16y^4\\&=x^4+8x^3y+24x^2y^2+32xy^3+16y^4\end{align*}$

Contoh 2:
Ekspansikan binomial $(2x-y)^3$

Jawab:
$\begin{align*}(2x-y)^3&=\left( 2x+(-y)\right)^3\\&=\binom{3}{0}(2x)^3+\binom{3}{1}(2x)^2(-y)+\binom{3}{2}(2x)(-y)^2+\binom{3}{3}(-y)^3\\&=(2x)^3+3(2x)^2(-y)+3(2x)(-y)^2+(-y)^3\\&=8x^3+3(4x^2)(-y)+3(2x)(y^2)-y^3\\&=8x^3-12x^2y+6xy^2-y^3\end{align*}$


Menentukan Suku Dan Koefisien Binomial

Dari formula binomial :
$$(x+y)^n=\sum_{r=0}^n \binom{n}{r}{x^{n-r}y^r}$$
suku ke $k$ dari hasil penjabarannya dapat ditentukan sebagai berikut:
$$\boxed{\binom{n}{k-1}x^{n-(k-1)}y^{(k-1)}}$$

Sekarang kembali perhatikan contoh 1 di atas, bentuk $(x+2y)^4$ setelah kita jabarkan, kita peroleh:$$(x+2y)^4=x^4+8x^3y+24x^2y^2+32xy^3+16y^4$$
Suku-suku pada ekspansi binomial $(x+2y)^4$ adalah :
suku ke-1: $x^4$ dengan koefisien $1$
suku ke-2 : $8x^3y$ dengan koefisien $8$
suku ke-3 : $24x^2y^2$ dengan koefisien $24$
suku ke-4 : $32xy^3$ dengan koefisien $32$
suku ke-5 : $16y^4$ dengan koefisien $16$

Jika kita ingin menentukan suku tertentu saja, kita tidak perlu menjabarkan secara keseluruhan, namun kita cukup menggunakan formula yang telah diberikan di atas. Misal, kita akan menentukan suku ke-3 dari $(x+2y)^4$:
$\begin{align*}\binom{n}{k-1}x^{n-(k-1)}(2y)^{(k-1)}&=\binom{4}{3-1}x^{4-(3-1)}(2y)^{(3-1)}\\&=\binom{4}{2}x^2(2y)^2\\&=6x^2.4y^2\\&=24x^2y^2\end{align*}$

Contoh 3:
Tentukan suku ke-$3$ dari $(2x-3y)^5$ dan tentukan nilai koefisiennya

Jawab:
Suku ke-3 artinya $k=3$
$\begin{align*}\binom{n}{k-1}(2x)^{5-(3-1)}(-3y)^{(3-1)}&=\binom{5}{2}(2x)^{3}(-3y)^2\\&=10(8x^3)(9y^2)\\&=720x^3y^2\end{align*}$
Jadi suku ke-3 dari $(2x-3y)^5$ adalah $720x^3y^2$ dengan nilai koefisien $720$


Contoh 4:
Tentukan koefisien $x^2$ dari hasil ekspansi $(3x-2)^9$ dan tentukan pada suku ke berapa suku tersebut berada

Jawab:
$x^2=x^{9-(k-1)}\rightarrow 2=10-k\rightarrow k=8$

$\begin{align*}\binom{9}{8-1}(3x)^{9-(8-1)}(-2)^{(8-1)}&=\binom{9}{7}(3x)^2(-2)^7\\&=36(9x^2)(-128)\\&=-41472x^2\end{align*}$

Jadi, pada ekspansi $(3x-2)^9$, $x^2$ terletak pada suku ke 8 dengan nilai koefisien $-41.472$.

Contoh 5:
Tentukan koefisien $x^4$ dari hasil ekspansi $\left (2x^2+\frac{1}{\sqrt{x}} \right )^7$

Jawab:

$(2x^2+\frac{1}{\sqrt{x}})^7=(2x^2+x^{-\frac{1}{2}})^7$
maka:
$\begin{align*}(x^2)^{7-(k-1)}\left (x^{-\frac{1}{2}}\right )^{k-1}&=x^4\\(x^2)^{8-k}x^{-\frac{1}{2}k+\frac{1}{2}}&=x^4\\x^{16-2k}x^{-\frac{1}{2}k+\frac{1}{2}}&=x^4\\x^{\frac{33-5k}{2}}&=x^4\end{align*}$

$\frac{33-5k}{2}=4\rightarrow k=5$

$\begin{align*}\binom{7}{5-1}(2x^2)^{7-(5-1)}(x^{-\frac{1}{2}})^{5-1}&=\binom{7}{4}(2x^2)^3x^{-2}\\&=35(8x^6)(x^{-2})\\&=280x^4\end{align*}$

Jadi, koefisien $x^4$ adalah $280$.

$\blacksquare$ Denih Handayani, 2017 Save as Pdf