Menentukan Luas Segiempat Tali Busur dengan Formula Brahmagupta

Masih suasana lebaran dan tentunya masih libur kerja :) jadi masih bisa menyempatkan posting blog... (Kalau udah masuk kerja siap-siap blog ini gak update lagi hehe )
Pada kesempatan kali ini saya akan membahas tentang Rumus/Formula Brahmagupta... entah kenapa dan gak tau dapat bisikan dari mana tiba-tiba aja dapat ide untuk  mengulas materi ini.... :)



Bro/sist masih ingat dengan Rumus Heron? yups, rumus Heron merupakan rumus menentukan luas segitiga jika diketahui ketiga sisinya, rumusnya kurang lebih seperti ini: $L=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ dengan $a, b, c$ ketiga sisi segitiga dan $s=\frac{a+b+c}{2}$. lho kenapa jadi bahas Rumus Heron? apa hubungannya dengan Rumus Brahmagupta?? Sabar... sabar... masih pembukaan :) 

Jika Bro dan Sist gak asing dengan Rumus Heron, maka Bro dan Sist pasti bisa cepat paham dan hapal rumus Brahmagupta, karena rumus Brahmagupta merupakan pengembangan/perluasan dari rumus Heron. Rumus Brahmagupta merupakan rumus untuk mencari luas segi empat tali busur jika diketahui keempat sisinya. Untuk lebih jelas simak baik-baik penjelasan berikut ini

RUMUS/FORMULA BRAHMAGUPTA
Misal diberikan segiempat tali busur $ABCD$ dengan sisi-sisi $a, b, c, d$ seperti pada gambar berikut ini:

Luas segi empat tali busur $ABCD$  dapat di tentukan sebagai berikut:
$$\boxed{L_{ABCD}=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$$
dengan $s=\frac{a+b+c+d}{2}$

PEMBUKTIAN RUMUS/FORMULA BRAHMAGUPTA
Misal kita tarik garis $AC$ seperti pada gambar berikut ini:
Maka kita peroleh dua buah segitiga yaitu segitiga $ABC$ dan segitiga $ACD$ dengan luas:
$$L_{ABC}=\frac{1}{2}\times cd\times \sin B$$
$$L_{ACD}=\frac{1}{2}\times ab\times \sin D$$

Perhatikan bahwa:
$\begin{align*}B+D&=180^\circ\\D&=180^\circ-B\end{align*}$

maka:
$\begin{align*}\sin D&=\sin (180^\circ-B)\\&=\sin B\end{align*}$

Dengan demikian luas segirmpat tali busur $ABCD$ adalah:
$\begin{align*}L_{ABCD}&=L_{ABC}+L_{ACD}\\&=\frac{1}{2}\times cd\times \sin B+\frac{1}{2}\times ab\times \sin D\\&=\frac{1}{2}\times cd\times \sin B+\frac{1}{2}\times ab\times \sin B\\&=\frac{\sin B\times(ab+cd)}{2}\end{align*}$

Jika kedua ruas kita kali $2$ maka kita peroleh:
$\begin{align*}2L_{ABCD}&=\sin B\times(ab+cd)\\4(L_{ABCD})^{2}&=\sin^{2}{B}\times(ab+cd)^{2}\end{align*}$

substitusikan $\sin^{2}{B}=1-\cos^2{B}$, maka diperoleh:
$\begin{align*}4(L_{ABCD})^{2}&=(1-\cos^{2}{B})\times(ab+cd)^{2}\\4(L_{ABCD})^{2}&=(ab+cd)^{2}-\cos^{2}{B}\times(ab+cd)^{2}\end{align*}$

Sekarang perhatikan sisi $AC$  pada gambar, berdasarkan aturan cosinus diperoleh:
$$|AC|=a^{2}+b^{2}-2ab\cos D$$
$$|AC|=c^{2}+d^{2}-2cd\cos B$$
maka:
$$a^{2}+b^{2}-2ab\cos D=c^{2}+d^{2}-2cd\cos B$$
dengan $\cos B=-\cos D$,  maka kita peroleh

$\begin{align*}a^{2}+b^{2}+2ab\cos B&=c^{2}+d^{2}-2cd\cos B\\2ab\cos B+2cd\cos B&=c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}\\2\cos B(ab+cd)&=c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}\\4\cos^{2}{B}(ab+cd)^{2}&=(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})^{2}\\ \cos^{2}{B}(ab+cd)^{2}&=\frac{1}{4}(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})^{2}\end{align*}$

Sekarang kita substitusi $\small\cos^{2}{B}(ab+cd)^{2}=\frac{1}{4}(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})^{2}$
ke $\small4(L_{ABCD})^{2}=(ab+cd)^{2}-\cos^{2}{B}(ab+cd)^{2}$ 
maka kita peroleh:

$\small\begin{align*}4(L_{ABCD})^{2}&=(ab+cd)^{2}-\cos^{2}{B}(ab+cd)^{2}\\4(L_{ABCD})^{2}&=(ab+cd)^{2}-\frac{1}{4}(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})^{2}\\16(L_{ABCD})^{2}&=4(ab+cd)^{2}-(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})^{2}\\16(L_{ABCD})^{2}&=(2(ab+cd)+(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})) (2(ab+cd)-(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}))\\16(L_{ABCD})^{2}&=(c^{2}+d^{2}+2cd-a^{2}-b^{2}+2ab)(a^{2}+b^{2}+2ab-c^{2}-d^{2}+2cd)\\16(L_{ABCD})^{2}&=((c+d)^{2}-(a-b)^{2})((a+b)^{2}-(c-d)^{2})\\16(L_{ABCD})^{2}&=(c+d+b-a)(c+d+a-b)(a+b+c-d)(a+b+d-c)\end{align*}$

selanjutnya, kita substitusikan $a+b+c+d=2s$, maka kita peroleh:
$\small\begin{align*}16(L_{ABCD})^{2}&=(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)(2s-2d)\\16(L_{ABCD})^{2}&=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)\\(L_{ABCD})^{2}&=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)\\L_{ABCD}&=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\qquad\blacksquare\end{align*}$


Jika panjang sisi $d=0$ maka akan kita peroleh Formula Heron.



Siapa saya? Tidak ada hal istimewa tentang saya. Seseorang yang masih haus ilmu, namun ingin memberi manfaat untuk banyak orang. FB : https://facebook.com/denih.alkhawarizmi

Artikel Terkait

Previous
Next Post »

4 komentar

Write komentar
sukri go
AUTHOR
1 July 2017 at 00:38 delete

Mantab kali pak denih....

Reply
avatar
1 July 2017 at 05:28 delete

Makasih kunjungannya pak Sukri, 😊

Reply
avatar
Achmad Basuni
AUTHOR
4 July 2017 at 14:57 delete

Mantab.. terimakasih.

Reply
avatar
6 July 2017 at 20:26 delete

Sama-sama, terimakasih atas kunjungannya

Reply
avatar

Kritik, saran atau koreksi silahkan isi kolom komentar EmoticonEmoticon