Menentukan Luas Segiempat Tali Busur dengan Formula Brahmagupta

Masih suasana lebaran dan tentunya masih libur kerja :) jadi masih bisa menyempatkan posting blog... (Kalau udah masuk kerja siap-siap blog ini gak update lagi hehe )
Pada kesempatan kali ini saya akan membahas tentang Rumus/Formula Brahmagupta... entah kenapa dan gak tau dapat bisikan dari mana tiba-tiba aja dapat ide untuk  mengulas materi ini.... :)



Bro/sist masih ingat dengan Rumus Heron? yups, rumus Heron merupakan rumus menentukan luas segitiga jika diketahui ketiga sisinya, rumusnya kurang lebih seperti ini: $L=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ dengan $a, b, c$ ketiga sisi segitiga dan $s=\frac{a+b+c}{2}$. lho kenapa jadi bahas Rumus Heron? apa hubungannya dengan Rumus Brahmagupta?? Sabar... sabar... masih pembukaan :) 

Jika Bro dan Sist gak asing dengan Rumus Heron, maka Bro dan Sist pasti bisa cepat paham dan hapal rumus Brahmagupta, karena rumus Brahmagupta merupakan pengembangan/perluasan dari rumus Heron. Rumus Brahmagupta merupakan rumus untuk mencari luas segi empat tali busur jika diketahui keempat sisinya. Untuk lebih jelas simak baik-baik penjelasan berikut ini

RUMUS/FORMULA BRAHMAGUPTA
Misal diberikan segiempat tali busur $ABCD$ dengan sisi-sisi $a, b, c, d$ seperti pada gambar berikut ini:

Luas segi empat tali busur $ABCD$  dapat di tentukan sebagai berikut:
$$\boxed{L_{ABCD}=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$$
dengan $s=\frac{a+b+c+d}{2}$

PEMBUKTIAN RUMUS/FORMULA BRAHMAGUPTA
Misal kita tarik garis $AC$ seperti pada gambar berikut ini:
Maka kita peroleh dua buah segitiga yaitu segitiga $ABC$ dan segitiga $ACD$ dengan luas:
$$L_{ABC}=\frac{1}{2}\times cd\times \sin B$$
$$L_{ACD}=\frac{1}{2}\times ab\times \sin D$$

Perhatikan bahwa:
$\begin{align*}B+D&=180^\circ\\D&=180^\circ-B\end{align*}$

maka:
$\begin{align*}\sin D&=\sin (180^\circ-B)\\&=\sin B\end{align*}$

Dengan demikian luas segirmpat tali busur $ABCD$ adalah:
$\begin{align*}L_{ABCD}&=L_{ABC}+L_{ACD}\\&=\frac{1}{2}\times cd\times \sin B+\frac{1}{2}\times ab\times \sin D\\&=\frac{1}{2}\times cd\times \sin B+\frac{1}{2}\times ab\times \sin B\\&=\frac{\sin B\times(ab+cd)}{2}\end{align*}$

Jika kedua ruas kita kali $2$ maka kita peroleh:
$\begin{align*}2L_{ABCD}&=\sin B\times(ab+cd)\\4(L_{ABCD})^{2}&=\sin^{2}{B}\times(ab+cd)^{2}\end{align*}$

substitusikan $\sin^{2}{B}=1-\cos^2{B}$, maka diperoleh:
$\begin{align*}4(L_{ABCD})^{2}&=(1-\cos^{2}{B})\times(ab+cd)^{2}\\4(L_{ABCD})^{2}&=(ab+cd)^{2}-\cos^{2}{B}\times(ab+cd)^{2}\end{align*}$

Sekarang perhatikan sisi $AC$  pada gambar, berdasarkan aturan cosinus diperoleh:
$$|AC|=a^{2}+b^{2}-2ab\cos D$$
$$|AC|=c^{2}+d^{2}-2cd\cos B$$
maka:
$$a^{2}+b^{2}-2ab\cos D=c^{2}+d^{2}-2cd\cos B$$
dengan $\cos B=-\cos D$,  maka kita peroleh

$\begin{align*}a^{2}+b^{2}+2ab\cos B&=c^{2}+d^{2}-2cd\cos B\\2ab\cos B+2cd\cos B&=c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}\\2\cos B(ab+cd)&=c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}\\4\cos^{2}{B}(ab+cd)^{2}&=(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})^{2}\\ \cos^{2}{B}(ab+cd)^{2}&=\frac{1}{4}(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})^{2}\end{align*}$

Sekarang kita substitusi $\small\cos^{2}{B}(ab+cd)^{2}=\frac{1}{4}(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})^{2}$
ke $\small4(L_{ABCD})^{2}=(ab+cd)^{2}-\cos^{2}{B}(ab+cd)^{2}$ 
maka kita peroleh:

$\small\begin{align*}4(L_{ABCD})^{2}&=(ab+cd)^{2}-\cos^{2}{B}(ab+cd)^{2}\\4(L_{ABCD})^{2}&=(ab+cd)^{2}-\frac{1}{4}(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})^{2}\\16(L_{ABCD})^{2}&=4(ab+cd)^{2}-(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})^{2}\\16(L_{ABCD})^{2}&=(2(ab+cd)+(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})) (2(ab+cd)-(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}))\\16(L_{ABCD})^{2}&=(c^{2}+d^{2}+2cd-a^{2}-b^{2}+2ab)(a^{2}+b^{2}+2ab-c^{2}-d^{2}+2cd)\\16(L_{ABCD})^{2}&=((c+d)^{2}-(a-b)^{2})((a+b)^{2}-(c-d)^{2})\\16(L_{ABCD})^{2}&=(c+d+b-a)(c+d+a-b)(a+b+c-d)(a+b+d-c)\end{align*}$

selanjutnya, kita substitusikan $a+b+c+d=2s$, maka kita peroleh:
$\small\begin{align*}16(L_{ABCD})^{2}&=(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)(2s-2d)\\16(L_{ABCD})^{2}&=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)\\(L_{ABCD})^{2}&=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)\\L_{ABCD}&=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\qquad\blacksquare\end{align*}$


Jika panjang sisi $d=0$ maka akan kita peroleh Formula Heron.



Siapa saya? Tidak ada hal istimewa tentang saya. Seseorang yang masih haus ilmu, namun ingin memberi manfaat untuk banyak orang.

Artikel Terkait

Previous
Next Post »

4 komentar

Write komentar
sukri go
AUTHOR
1 July 2017 at 00:38 delete

Mantab kali pak denih....

Reply
avatar
1 July 2017 at 05:28 delete

Makasih kunjungannya pak Sukri, 😊

Reply
avatar
Achmad Basuni
AUTHOR
4 July 2017 at 14:57 delete

Mantab.. terimakasih.

Reply
avatar
6 July 2017 at 20:26 delete

Sama-sama, terimakasih atas kunjungannya

Reply
avatar

Kritik, saran atau koreksi silahkan isi kolom komentar EmoticonEmoticon