Menentukan Jumlah Deret Aritmetika Bertingkat
Misalkan ada barisan $u_1, u_2, u_3, \cdots, u_n$ merupakan barisan dengan selisih tidak konstan. tetapi apabila diambil $D_1(n)=S_n-S_{(n-1)}$ lalu $D_2(n)=D_1(n)-D_1(n-1)$ dan seterusnya sampai pada suatu saat $D_k(n)=D_{k-1}(n)-D_{k-1}(n-1)$ bernilai konstan. Maka dapat kita ambil kesimpulan bahwa rumus jumlah $n$ suku pertama $S_n$barisan tersebut merupakan polinomial pangkat $k$.
Contoh:
Diketahui barisan 3, 6, 10, 15, 21, ... tentukan jumlah n suku pertama $S_n$ !
Solusi:
Jika kita perhatikan barisan bilangan 3, 6, 10, 15, 21, ... bukanlah merupakan barisan aritmetika karena selisihnya tidak konstan. Namun jika kita perhatikan selisihnya sebagai berikut:
Dari kedua tabel didapat bahwa:
dari persamaan (2) diperoleh
![2+2b=4](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sOezH5YuZxoGsZzOukjbeCS_GB2LGZVh0AoBUiEucdQnjlWeuPWGB3e7A2ONfLGypBYDwpcZfmBxOQpSkASThWe2PxBNNS-zv12KaJ=s0-d)
![2b=2](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sMeEzjaeqhIC670eDv3vIELkQVQf1Azuq9jRKIjn08n1AMn44HM70n1J_R875tdTtnaansVvrODMKiNpKHaaC19QHPoLQyGHpd4RM=s0-d)
![7(\frac{1}{6})+3(1)+c=6](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sRqz-9sj0ex1zIEWZdhWCG13rKwnhw4bkKRVmfHeL798GWHY4I59Jb8ANRjaXnK77iHiFS3mxMD3g52XwIQOsZ1u_hDCgC1Cs621hQaSu8neNkVST3sj86iZdUk675uN4z9EgvGDs2=s0-d)
![\frac{7}{6}+3+c=6](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tb9nttW-wFZZiEpmV85kVDb1nH4CNiTvzwZWe_N1fr_s6FbtC5CB9atA6s4qt1yCTa19HaNPWxindwtRmUCaF8d3jYGPpB4236KtYmBN1gXabCKdazRqkUSTti5-7aH7g8=s0-d)
![\frac{7}{6}+\frac{18}{6}+c=\frac{36}{6}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_soLvuN3huFw56f-pq7rm3A5SNUcUlhQIMZtrR7ceK4YUi4I_ToUoqlplW3kTK1y62-0ytSl986CWg49a_Jkmyv77Y-NJ5yhTUVPuLGQfc7lo9VdfX7wLr8zi94ChDfYinbawJvykn-K8u2QSYg0pydBlHNY5nYp8EkkvDIWaNPuLTAQfANgj-u6tBq0A=s0-d)
![\frac{25}{6}+c=\frac{36}{6}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sAyYBjBvTG_Yos2FJd7aQwrqlBcCpeLZGMZt4wvtmgThmJy_HudFdKdmlE69Va3FhLpHFOeKOuPjpucNg-0ke3mOvDLi5rRi2o71O0KATHI0dupDWO0B2LZkwlxkiFfCt9aeO0QpGBufGfO13g1YmKK0ggeP6z=s0-d)
![c=\frac{36}{6}-\frac{25}{6}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tXz2VZHsTmmx9cjcjTGlSJuV_IqFe9aOr-H432fDiJLXTWcJsJPsQU9Crliw-H78LZ0-G1YAETYcB5ZKf1U7IpdV4GgNbRNdkkq0ijOiMzWF69B157E5Iw2Ve9VTLuCL6dse30_r6QrsVvPH8dLr-yr44DeLhQ=s0-d)
dari persamaan ke (4)
maka persamaan jumlah deret tersebut adalah
![S_{n}=an^{3}+bn^{2}+cn+d](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uynLc2_FThRnCFc7RVDGadaWw8oIorvOvPNFl_q6kh44hMwg83tDpCpYyeIutk1bVQFbAxI7aT4JKSRgaPbP1T8-sh66VHfMpZJNBegA_Kn7t0B5NnQ55NI294dhmhLG0pFhMIyYvHB-CsOIL1_g=s0-d)
Jika Anda sudah memahami langkah-langkah menentukan jumlah deret aritmatika bertingkat seperti yang dijelaskan di atas, anda boleh mencoba menyelesaikan soal berikut:
Contoh:
Diketahui barisan 3, 6, 10, 15, 21, ... tentukan jumlah n suku pertama $S_n$ !
Solusi:
Jika kita perhatikan barisan bilangan 3, 6, 10, 15, 21, ... bukanlah merupakan barisan aritmetika karena selisihnya tidak konstan. Namun jika kita perhatikan selisihnya sebagai berikut:
atau dapat kita tulis dalam tabel sebagai berikut:
ternyata pada tingkatan ketiga atau pada tabel $D_3(n)$ selisihnya konstan. maka dapat disimpulkan bahwa jumlah suku ke $n$ atau $S_n$ barisan tersebut merupakan polinomial berderajat 3.
misalkan :
$S_n=an^3+bn^2+cn+d$
maka kita peroleh:
Dari kedua tabel didapat bahwa:
dari persamaan (1) diperoleh :
dari persamaan (2) diperoleh
dari persamaan (3) diperoleh
dari persamaan ke (4)
maka persamaan jumlah deret tersebut adalah
Jika Anda sudah memahami langkah-langkah menentukan jumlah deret aritmatika bertingkat seperti yang dijelaskan di atas, anda boleh mencoba menyelesaikan soal berikut:
Pembahasannya download disini
Baca juga: Konsep barisan aritmetika bertingkat