KOMBINATORIK


A.    KAIDAH PENCACAHAN
1.      Aturan Pengisian Tempat (Filling Slots)
Jika terdapat n buah tempat yang tersedia, dengan:
k1 = banyaknya cara untuk mengisi tempat pertama
k2 = banyaknya cara untuk mengisi tempat kedua setelah tempat pertama terisi
k3 = banyaknya cara untuk mengisi tempat ketiga setelah tempat kedua terisi]
kn = banyaknya cara untuk mengisi tempat ke-n setelah tempat ke (n-1) terisi
maka banyaknya cara untuk mengisi n tempat yang tersedia secara keseluruhan adalah
 k1 x k2 x k3 x … x kn

Contoh 1:
Seseorang mempunyai 3 kemeja dan 2 celana berbeda. Dengan berapa carakah orang tersebut dapat menggunakan setelan pakaian?

Jawab:
Kejadian pertama dapat diisi dengan 3 cara.
Kejadian kedua dapat diisi dengan 2 cara.
Banyaknya cara yang dapat terjadi: 3 × 2 = 6 cara

Contoh 2:
Dari lima buah angka 4,5,6,7,8 hendak disusun bilangan genap yang terdiri atas 3 angka. Berapakah banyaknya bilangan yang dapat disusun jika bilangan tersebut boleh ada yang sama dan jika tidak boleh ada yang sama.

Jawab:
Jika boleh ada yang sama:
Angka pertama (ratusan) dapat memilih 5 angka
Angka kedua (puluhan) dapat memilih 5 angka
Angka ketiga (satuan) dapat memilih 3 angka
Jadi banyaknya bilangan genap yang dapat disusun adalah 5 ×  5 ×  3 = 75 Bilangan

Jika tidak boleh ada yang sama:
Karena tidak boleh ada yang sama maka kita dengan satuan
Angka ketiga (satuan) dapat memilih 3 angka
Angka kedua (puluhan) dapat memilih 4  angka
Angka pertama (ratusan) dapat memilih 3 angka
Jadi banyaknya bilangan genap yang dapat disusun adalah 3 ×  4 × 3 = 36 Bilangan

2.      Kidah Penjumlahan
Kaidah penjumlahan dilakukan jika  unsur-unsur yang tersedia tidak dipilih atau tidak digunakan secara bersama-sama.
Contoh:
Andi memiliki 3 mobil,2 sepeda motor, dan 4 sepeda. Ada berapakah banyaknya cara Andi pergi kesekolah dengan kendaraan tersebut?

Jawab:
Banyaknya cara pergi kesekolah dengan kendaraan tersebut adalah 3 + 2 + 4 = 9 cara
3.      Kaidah Perkalian
Kaidah perkalian dilakukan jika unsur-unsur yang tersedia digunakan secara bersamaan.
Contoh:
Seseorang hendak bepergian dari kota A ke kota C.
Dari kota A ke kota B terdapat 5 jalan, dan dari kota B ke kota C terdapat 2 jalan. Ada berapakah banyaknya jalur yang dapt ditempuh orang tersebut dari kota A ke kota C melalui kota B?

Jawab:
Banyaknya jalur yang dapat ditempuh orang tersebut dari kota A ke kota C melalui kota B adalah
5 x 2 =10

B.     PERMUTASI
Secara umum banyaknya permutasi dari n objek diambil r objek dinotasikan nPr atau P(n,r)
P(n,r) = n! / (n-r)!
Dengan catatan r ≤ n
Yang harus diperhatikan dalam permutasi adalah dalam permutasi Urutan Sangat diperhatikan
(ab ≠ ba).

Notasi n! dibaca n faktorial.
Untuk setiap n bil. Asli didefinisikan:
n! = n × (n-1) ×  (n-2) × (n-3) × … × 3 × 2×1
catatan: 1! = 1 dan 0! = 1

Contoh 1 (permasalahan Permutasi):
Berapakah banyaknya permutasi dari 6  unsur yang diambil 4?

Jawab:
n = 6 dan r = 4, maka:
P(6,4) = 6! / (6-4)! = (6.5.4.3.2.1)/(2.1) = 360

Contoh 2:
Berapakah banyaknya bilangan yang terdiri dari 2 angka yang dibentuk dari angka-angka 3,4 dan 5 ?

Jawab:
P(3,2) = 3! / (3-2)! = 6 bilangan

PERMUTASI YANG MEMUAT BEBERAPA UNSUR YANG SAMA
Banyaknya permutasi dari n objek yang memuat k , l, dan m objek yang sama  diambil semua, maka banyaknya permutasi adalah:

P = n! / (k! × l! × m!)

Contoh:
Ada berapakah banyaknya kata yang dapat dibentuk dari huruf S, A, S ?
Jawab:
n = 3, huruf S = 2, huruf A = 1
P = 3! / 2! = 3 , yaitu kata SAS, SSA dan ASS


jika permutasi dari n objek yang memuat k , l, dan m objek yang sama  diambil r objek. maka banyaknya permutasi adalah:

P = n! / [(n-r)! (k! × l! × m!)]

Contoh:
Ada berapakah banyaknya kata yang terdiri dari 2 huruf  yang dapat dibentuk dari huruf S, A, S ?
Jawab:
n = 3, r = 2 ,  huruf S = 2, huruf A = 1
P = 3! /[(3-2)!×2!] = 3 , yaitu kata SA, SS dan AS


PERMUTASI  SIKLIS
Permutasi dari n objek yang berbeda disusun secara melingkar adalah:
P(siklis) = (n - 1) !

Contoh:
Angga, Ana, Rizka, dan Frida akan mengadakan belajar bersama pada sebuah meja bundar. Ada berapa cara mereka dapat duduk mengelilingi meja tersebut?
Jawab:
n = 4
maka;
P= (4-1)! = 3! = 6 cara

C.    KOMBINASI
Kombinasi adalah suatu susunan unsur-unsur dari sekumpulan unsur tanpa memperhatikan urutannya.
Secara umum banyaknya kombinasi dari n objek yang berbeda diambil r objek yangberbeda dapat dinotasikan dengan;
C(n,r) = n!/[(n-r)!r!]
Dengan catatan r ≤ n

Contoh:
Sebuah kantong berisi 7 kelereng merah dan 5 kelereng kuning. Dari kantong tersebut diambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Ada berapa cara pengambilan jika kelereng yang diambil:
- ketiganya berwarna merah
- 2 kelereng berwarna merah dan 1 kelereng berwarna kuning
- banyaknya pengambilan dengan warna bebas

 Jawab:
-          Ketiganya berwarna merah
C(7,3) = 7! / [(7-3)! 3!] = 35
-          2 kelereng berwarna merah dan 1 kelereng berwarna kuning
C(7,2) × C(5,1) = [7!/(5!×2!)]×[5!/(4!×1!) = 105
-          banyaknya pengambilan dengan warna bebas
C(12,3) = 12! / (9!×3!) = 220


Siapa saya? Tidak ada hal istimewa tentang saya. Seseorang yang masih haus ilmu, namun ingin memberi manfaat untuk banyak orang. FB : https://facebook.com/denih.alkhawarizmi

Artikel Terkait

Previous
Next Post »