Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Tanpa Rumus

Pada kesempatan kali ini saya akan berbagi bagaimana cara menyelesaikan persamaan trigonometri tanpa menggunakan rumus. yang saya maksud, adalah rumus persamaan trigonometri berikut ini:

Persamaan	Penyelesaian
$\sin{x} =\sin{a^\circ}$ $\cos{x}=\cos{a^\circ}$ $\tan{x}=\tan{a^\circ}$	$x=a^\circ+k\times360^\circ$ atau $x=(180-a)^\circ+k\times360^\circ$ $x=\pm a^\circ+k\times 360^\circ$ $x=a^\circ +k\times 180^\circ$

Rumus-rumus yang lumayan susah untuk diingat 😁, tapi cara yang saya bagikan ini sebenarnya tidak saya sarankan, anggap saja hanya berbagi pengalaman bagaimana cara saya menutupi kekurangan yang jujur saja lemah dalam hapalan, toh matematika bukan ilmu hapalan kan? hehe 😁

Namun tetap, ada beberapa syarat yang mesti terpenuhi untuk bisa menggunakan cara ini, 

Pertama, kalian harus tau nilai trigonometri sudut istimewa pada kuadran I, sebagai berikut:

$\alpha$	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$
$\sin{\alpha}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{3}$	$1$
$\cos{\alpha}$	$1$	$\frac{1}{2} \sqrt{3}$	$\frac{1}{2} \sqrt{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\tan{\alpha}$	$0$	$\frac{1}{3} \sqrt{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$-$

Kedua, kalian harus tau nilai trigonometri bernilai positif atau negatif berada di kuadran mana saja.

untuk mempermudah mengingatnya, kita ingat yang bernilai positifnya saja yang biasa saya hapal menggunakan "jembatan keledai" dalam kalimat "semanis sinta tanpa cosmetik", sebagai berikut:

Kuadran I : Semua bernilai positif ($\sin$, $\cos$, $\tan$, $\sec$, $\csc$ dan $\cot$)

Kuadaran II : $\sin$ (dan "kebalikannya" yaitu $\csc$) bernilai positif, yang lainnya negatif

Kuadran III : $\tan$  (dan "kebalikannya" yaitu $\cot$) bernilai positif, yang lainnya negatif

Kuadran IV : $\cos$ (dan "kebalikannya" yaitu $\sec$) bernilai positif, yang lainnya negatif

perhatikan diagram berikut:

Nah, itulah dua syarat yang harus terpenuhi.

Baiklah sekarang kita coba bahas soal persamaan trigonometri, kita mulai dari yang paling sederhana:

CONTOH 1

Tentukan penyelesaian dari persamaan $\sin{x}=\frac{1}{2}$ untuk $0^\circ \leq x \leq 360^\circ$.

Jawab:
Pertama perhatikan batasan $x$ yaitu $0^\circ \leq x \leq 360^\circ$ artinya $x$ bisa berada di kuadran I, II, III atau IV.

Sekarang perhatikan persamaan $\sin{x}=\frac{1}{2}$, bisa kita lihat nilai $\sin$ positif, artinya nilai $x$ yang memenuhi pastilah berada di kuadran I atau II (karena $\sin$ positif di kuadran I dan II)

maka nilai $x$ yang memenuhi pastilah $x=30^\circ$ atau $x=150^\circ$

CONTOH 2

Tentukan penyelesaian dari persamaan $\cos{x}+1=0$ untuk $0^\circ \leq x \leq 360^\circ$.

Jawab:
$\cos{x}+\frac{1}{2}\sqrt{2}=0\Rightarrow\cos{x}=-\frac{1}{2}\sqrt{2}$


Pertama perhatikan batasan $x$ yaitu $0^\circ \leq x \leq 360^\circ$ artinya $x$ bisa berada di kuadran I, II, III atau IV.

Perhatikan persamaan $\cos{x}=-\frac{1}{2}\sqrt{2}$ nilai $\cos$ negatif, artinya nilai $x$ yang memenuhi berada di kuadran III dan IV.

Maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=180^\circ-45^\circ=135^\circ$ atau $x=180^\circ+45^\circ=225^\circ$

CONTOH 3 (Sumber soal: Matematika Peminatan Kls XI Intan Pariwara)

Penyelesaian persamaan $\cos{x}=-\frac{1}{2}\sqrt{3}$ untuk $0^\circ\leq x \leq 360^\circ$ adalah ....
A. $x=30^\circ, 150^\circ$
B. $x=120^\circ, 210^\circ$
C. $x=150^\circ, 210^\circ$
D. $x=150^\circ, 300^\circ$
E. $x=150^\circ, 330^\circ$

Jawab:
Nilai $\cos$ negatif, artinya nilai $x$ yang memenuhi berada di kuadaran II dan III, maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=180^\circ-30^\circ=150^\circ$ dan $x=180^\circ+30^\circ=210^\circ$.

Jawaban: C

CONTOH 4 (Sumber soal: Matematika Peminatan Kls XI Intan Pariwara)

Diketahui $x_1$ dan $x_2$ merupakan penyelesaian persamaan $\sqrt{2}+2\cos{x}=0$ untuk $0^\circ\leq x \leq 360^\circ$. nilai $x_1+x_2=$ ....
A. $210^\circ$
B. $270^\circ$
C. $300^\circ$
D. $330^\circ$
E. $360^\circ$

Jawab:
$\begin{align*}\sqrt{2}+2\cos{x}&=0\\2\cos{x}&=-\sqrt{2}\\ \cos{x}&=-\frac{1}{2}\sqrt{2}\end{align*}$

Nilai $\cos$ negatif, artinya nilai $x$ yang memenuhi berada pada kuadran II dan III, maka:
$x_1=180^\circ-45^\circ=135^\circ$
$x_2=180^\circ+45^\circ=225^\circ$, 
sehingga $x_1+x_2=135^\circ+225^\circ=360^\circ$

Jawaban: E

CONTOH 5 (Sumber soal: Matematika Peminatan Kls XI Intan Pariwara)

Penyelesaian persamaan $\tan{(x+15^\circ)}=-1$ untuk $180^\circ \leq x \leq 360^\circ$ adalah ....
A. $x=135^\circ$
B. $x=225^\circ$
C. $x=300^\circ$
D. $x=315^\circ$
E. $x=330^\circ$

Jawab:
Batasan $x$, $180^\circ \leq x \leq 360^\circ$ bisa kita ubah menjadi :
$180^\circ+15^\circ \leq x+15^\circ \leq 360^\circ+15^\circ$
$\Rightarrow 195^\circ\leq x+15^\circ\leq 375^\circ$

Jika kita misalkan $x+15^\circ=p$, maka:
$\tan{p}=-1$ dengan $195^\circ\leq p \leq 375^\circ$

$\tan$ bernilai negatif, artinya $p$ yang memenuhi berada di kuadran IV, dengan demikian, nilai $p=360^\circ-45^\circ=315^\circ$

$\begin{align*}x+15^\circ&=p\\x+15^\circ&=315^\circ\\x&=315^\circ-15^\circ\\x&=300^\circ\end{align*}$

Jawaban: C

CONTOH 6 (Sumber soal: Matematika Peminatan Kls XI Intan Pariwara)

Himpunan penyelesaian persamaan $2\cos{(2x-60^\circ)}=1$ untuk $0^\circ \leq x \leq 180^\circ$ adalah ....
A. $\{ 0^\circ, 45^\circ, 135^\circ \}$
B. $\{0^\circ, 60^\circ, 135^\circ\}$
C. $\{0^\circ, 60^\circ, 180^\circ\}$
D. $\{30^\circ, 45^\circ, 180^\circ\}$
E. $\{30^\circ, 135^\circ, 180^\circ\}$

Jawab:
$\begin{align*}2\cos {(2x-60^\circ)}&=1\\ \cos{(2x-60^\circ)}&=\frac{1}{2}\end{align*}$

Batasan $x$
$0^\circ \leq x \leq 180^\circ \Leftrightarrow -60^\circ \leq 2x-60^\circ \leq 360^\circ$

Misal: $2x-60^\circ = p$, maka
$\cos{p}=\frac{1}{2}$ untuk $-60^\circ \leq p \leq 300^\circ$

karena nilai $\cos$ positif, maka $p$ yang memenuhi berada di kuadran I, dan IV. Perhatikan juga "batasan" $p$, $-60^\circ$ berada di kuadran IV, memenuhi. jadi $p=-60^\circ, 60^\circ, 300^\circ$

$2x-60^\circ=p\Leftrightarrow x=\frac{p+60^\circ}{2}$

untuk $p=-60^\circ\Rightarrow x=\frac{-60^\circ+60^\circ}{2}=0^\circ$
untuk $p=60^\circ\Rightarrow x=\frac{60^\circ+60^\circ}{2}=60^\circ$
untuk $p=300^\circ\Rightarrow x=\frac{300^\circ+60^\circ}{2}=180^\circ$

Jawaban: C