Menentukan Jumlah Deret Aritmetika Bertingkat

Misalkan ada barisan $u_1, u_2, u_3, \cdots, u_n$ merupakan barisan dengan selisih tidak konstan. tetapi apabila diambil $D_1(n)=S_n-S_{(n-1)}$ lalu $D_2(n)=D_1(n)-D_1(n-1)$ dan seterusnya sampai pada suatu saat $D_k(n)=D_{k-1}(n)-D_{k-1}(n-1)$ bernilai konstan. Maka dapat kita ambil kesimpulan bahwa rumus jumlah $n$ suku pertama $S_n$barisan tersebut merupakan polinomial pangkat $k$.

Contoh:
Diketahui barisan 3, 6, 10, 15, 21, ... tentukan jumlah n suku pertama $S_n$ !

Solusi:
Jika kita perhatikan barisan bilangan 3, 6, 10, 15, 21, ... bukanlah merupakan barisan aritmetika karena selisihnya tidak konstan. Namun jika kita perhatikan selisihnya sebagai berikut:

atau dapat kita tulis dalam tabel sebagai berikut:

ternyata pada tingkatan ketiga atau pada tabel $D_3(n)$ selisihnya konstan. maka dapat disimpulkan bahwa jumlah suku ke $n$ atau $S_n$ barisan tersebut merupakan polinomial berderajat 3.

misalkan :

$S_n=an^3+bn^2+cn+d$

maka kita peroleh:

Dari kedua tabel didapat bahwa:

dari persamaan (1) diperoleh :

$6a=1\Rightarrow a=\frac{1}{6}$

dari persamaan (2) diperoleh
$12a+2b=4\Rightarrow 12(\frac{1}{6}) +2b=4$

dari persamaan (3) diperoleh

$7(\frac{1}{6})+3(1)+c=6$

$\frac{7}{6}+3+c=6$

$\frac{7}{6}+\frac{18}{6}+c=\frac{36}{6}$

$\frac{25}{6}+c=\frac{36}{6}$

$c=\frac{36}{6}-\frac{25}{6}$

$c=\frac{11}{6}$

dari persamaan ke (4)

$\frac{1}{6}+1+\frac{11}{6}+d=3$
$\frac{12}{6}+1+d=3$

maka persamaan jumlah deret tersebut adalah

$S_{n}=an^{3}+bn^{2}+cn+d$

$S_{n}=\frac{1}{6}n^{3}+n^{2}+\frac{11}{6}n$

Jika Anda sudah memahami langkah-langkah menentukan jumlah deret aritmatika bertingkat seperti yang dijelaskan di atas, anda boleh mencoba menyelesaikan soal berikut:

Pembahasannya download disini